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Gleichseitiges Dreieck Formeln und Eigenschaften

Was ist ein Gleichseitiges Dreieck?

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Bei einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Seitenlängen gleich lang sowie alle drei Winkel gleich groß, nämlich $60$ Grad. Daraus lässt sich auch schließen, dass ein gleichseitiges Dreieck nie auch ein rechtwinkliges sein kann.

Welche Formeln gibt es zu einem Gleichseitiges Dreieck?

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Standardformeln:

Fläche: $A=$ $ \dfrac{a^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \\[6pt] $
Umfang: $U= $ $ 3 \cdot a \\[6pt]$

Winkelformeln:

$cos(\alpha) + cos(\beta) + cos(\gamma) = \frac{3}{2}$
$sin(\frac{\alpha}{2})$$ \cdot sin(\frac{\beta}{2})\cdot sin(\frac{\gamma}{2}) = \frac{1}{8}$

Erweiterte Formeln:

Höhe: $h_a = h_b = h_c = $$ \dfrac{a \cdot \sqrt{3}}{2} \\[6pt]$
Umkreisradius: $r_U= $$\dfrac{\sqrt{3}}{3} \cdot a \\[6pt]$
Inkreisradius: $r_I= $$\dfrac{\sqrt{3}}{6} \cdot a$ oder $r_I = \frac{h}{3}$

Erklärungen zu den verwendeten Variablen weiter unten.

Bild:

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Weitere Informationen: [Bearbeiten] [Versionsgeschichte]

Kanten / Eckpunkte:

Kanten: 3
Eckpunkte: 3

Infos zu den Variablen:

$a, b, c$ sind die Seitenlängen, wobei $a = b = c $ gilt
$h_a, h_b, h_c$ sind die Höhen
$A$ ist der Flächeninhalt
$U$ ist der Umfang
$r_i$ ist der Inkreisradius
$r_u$ ist der Umkreisradius
$\alpha, \beta, \gamma$ sind die Winkel in den Punkten $ A, B $ bzw. $ C $

Speziell gilt in einem gleichseitigem Dreieck:

$a = b = c$
$h = h_a = h_b = h_c$
$\alpha = \beta = \gamma = 60^\circ$

Interessantes:

Es gibt in jedem Dreieck einige besondere Punkte: Den Höhenschnittspunkt, den Schwerpunkt, den Inkreismittelpunkt und auch den Umkreismittelpunkt. Näheres erfährst du, wenn du auf die einzelnen Namen klickst. Eine interaktive Abbildung für die besonderen Punkte ist zudem unter diesem Link zu finden.

Trigonometrie:
In jedem Dreieck gilt der Sinus- und der Kosinussatz.

Konstruktion:
Dreiecke konstruierst du mit dem SSS-Satz, dem SSW-Satz, dem SWS-Satz und dem WSW-Satz. Näheres zu den einzelnen Sätzen erfährst du, wenn du auf die Namen klickst. Eine übersichtliche Auflistung der Sätze findest du auf dieser Seite.
Weiteres:

Das Verhältnis zwischen der Fläche eines Inkreises und der Fläche eines gleichseitigen Dreieckes ist $\frac{\pi}{3 \cdot \sqrt{3}}$. Dieses Verhältnis ist grösser als bei jedem nicht-gleichseitigem Dreieck.

Umkreis/Inkreis

Umkreis: Ja
Inkreis: Ja

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