Sattelpunkt

7.Klasse (Österreichischer Schulplan)

Information:
Auf dieser Seite erklären wir dir, was Sattelpunkte sind und wie du sie von einer Funktion bestimmen kannst. Für dieses Thema ist entscheidend, dass du die Ableitung einer Funktion bilden kannst. Falls du nicht weißt, wie das geht, kannst du es ja hier nochmal nachlesen.

Inhaltsverzeichnis:

Definition eines Sattelpunkts
Schritt-für-Schritt Anleitung: Wie bestimme ich die Sattelpunkte einer Funktion?
Durchgerechnete Beispiele

Definition:

Der Punkt $x_0$ wird Sattelpunkt genannt, falls die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind:

$ \left.\begin{align} f''(x_0) = 0\\ f'''(x_0) \ne 0 \end{align} \right\} $ Bedingung für einen Wendepunkt

sowie zusätzlich $f'(x_0) = 0 $.

Der Sattelpunkt ist somit ein Spezialfall eines Wendepunkts mit waagrechter Wendetangente. Es handelt sich jedoch nicht um einen Extrempunkt (die zweite Ableitung ist ja gleich 0).

Hinweis für Interessierte:

Die oben genannte Definition für einen Sattelpunkt ist hinreichend, jedoch nicht notwendig. So hat beispielsweise die Funktion $f(x)=x^5$ einen Sattelpunkt an der Stelle $x_0=0$, obwohl die dritte Ableitung gleich $0$ ist. Ein verallgemeinertes Kriterium lautet folgendermaßen: Gilt, dass die ersten $2n$ Ableitungen gleich $0$ sind und die $(2n+1)$-te Ableitung ungleich $0$, dann hat die Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ einen Sattelpunkt.

Schau dir am besten das folgende Beispiel an:

Der Punkt $A$ ist ein Sattelpunkt, weil er ein Wendepunkt ist sowie eine waagrechte Wendetangente besitzt.

Schritt-für-Schritt Anleitung: Wie bestimme ich rechnerisch die Sattelpunkte einer Funktion?

Hinweis: Die folgende Anleitung unterschiedet sich nur in einem Punkt von der Anleitung für die rechnerische Bestimmung eines Wendepunkts. Du musst nämlich nur noch zusätzlich überprüfen, ob die Bedingung $f'(x_0)=0$ erfüllt ist.

1.Schritt: Bilde die erste, die zweite sowie die dritte Ableitung der Funktion.
2.Schritt: Setze die zweite Ableitung gleich $0$ und löse nach $x$ auf.
3.Schritt: Setze die möglichen Sattelpunkte in die erste Ableitung ein. Falls $0$ herauskommt, verfahre weiter mit Schritt 4. Falls nicht, dann handelt es sich nicht um einen Sattelpunkt.
4.Schritt: Setze die möglichen Sattelpunkte in die dritte Ableitung ein. Falls nicht $0$ herauskommt, handelt es sich um einen Sattelpunkt.
5.Schritt: Berechne die $y-$Koordinate des Sattelpunkts.

Die Anleitung sieht kompliziert aus. Schau dir deshalb jetzt am besten die durchgerechneten Beispiele an!

Beispiele:
1) Bestimme die Sattelpunkte der Funktion $f(x)=x^3+3$.

Die Lösung:

1.Schritt: Bilde die erste, die zweite sowie die dritte Ableitung der Funktion.
1.Ableitung: $f'(x)=3x^2$, 2.Ableitung: $f''(x)=6x$, 3.Ableitung: $f'''(x)=6$

2.Schritt: Setze die zweite Ableitung gleich $0$ und löse nach $x$ auf.
$ 6x = 0 \ \ \mid \div \ 6 \\[4pt] x=0 $

3.Schritt: Setze die möglichen Sattelpunkte in die erste Ableitung ein. Falls $0$ herauskommt, verfahre weiter mit Schritt 4. Falls nicht, dann handelt es sich nicht um einen Sattelpunkt.
Setze $x=0$ in die erste Ableitung ein. Es ergibt sich:
$ f'(0)=3 \cdot 0^2=0 $
Da $0$ herauskommt, verfahren wir weiter mit Schritt 4.

4.Schritt: Setze die möglichen Sattelpunkte in die dritte Ableitung ein. Falls nicht $0$ herauskommt, handelt es sich um einen Sattelpunkt.
$ f'''(0)=6 $
Da nicht $0$ herauskommt, handelt es sich um einen Sattelpunkt.

5.Schritt: Berechne die $y-$Koordinate des Sattelpunkts.
$f(0) = 0^3+3= 3$

Der Sattelpunkt der Funktion lautet also $X=(0,3)$.

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