Gauß Algorithmus
Exkurs (Lineare Algebra)
Information
Auf dieser Seite erklären wir dir, was der Gauß Algorithmus ist und wie du mithilfe von ihm lineare Gleichungssysteme lösen kannst.
Wofür brauchst du den Gauß Algorithmus?
Mithilfe des Gauß Algorithmus kannst du ganz einfach lineare Gleichungssysteme lösen. Hierfür befolgst du die nachfolgenden Schritte.
Umwandeln des GLS in eine Koeffizientenmatrix
Den Gauß Algorithmus darfst du nur auf Matrizen anwenden. Deshalb schreibst du das lineare Gleichungssystem als sogenannte Koeffizientenmatrix.
Du lässt also die Variablen weg und schreibst nur die Koeffizienten sowie die rechte Seite an.
Beispiel:
Aus dem Gleichungssystem (GLS)
$$ 2a+3b+5c=-3 \\[8pt] -3a-2c=2 \\[8pt] 4a+7b-c=1 $$
wird
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
2 & 3 & 5 & -3\\
-3 & 0 & -2 & 2\\
4 & 7 & -1 & 1
\end{array}\right)$$
Beispiele
Beispiel 1:
Löse das GLS
$$
2a - 4b-3c = 2 \\[8pt]
5a -b -5c = -12 \\[8pt]
-3a + 6b +3c = -9
$$
Die Lösung:
Schreibe das GLS als erweiterte Koeffizientenmatrix:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
2 & -4 & -3 & 2 \\
5 & -1 & -5 & -12 \\
-3 & 6 & 3 & -9
\end{array}\right)$$
Wende nun das Gauß Verfahren auf die Koeffizientenmatrix an:
Dividiere die erste Zeile durch den ersten Eintrag der Koeffizientenmatrix:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
\bbox[red,5px]{\color{white}{2}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{-4}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{-3}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{2}} \ \ \ \color{red}{\mid \ \div \ 2}\\
5 & -1 & -5 & -12 \\
-3 & 6 & 3 & -9
\end{array}\right) $$
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & -1.5 & 1 \\
5 & -1 & -5 & -12 \\
-3 & 6 & 3 & -9
\end{array}\right) $$
Multipliziere die erste Zeile mit $5$ (erster Eintrag der zweiten Zeile) und schreibe das Ergebnis über die Matrix:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
\bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{-2}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{-1.5}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} \ \ \ \color{red}{\mid \ \cdot \ 5}\\
\color{red}{5} & -1 & -5 & -12 \\
-3 & 6 & 3 & -9
\end{array}\right) $$
$$ \begin{array}{ccc|c}
\bbox[green,5px]{\color{white}{5}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-10}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-7.5}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{5}} \end{array} \\
\left(\begin{array}{ccc|c}
\color{black}{1} & \color{black}{-2} & \color{black}{-1.5} & \color{black}{1} \ \ \ \\
5 & -1 & -5 & -12 \\
-3 & 6 & 3 & -9
\end{array}\right) $$
Subtrahiere das vorhin ausgerechnete Ergebnis von der zweiten Zeile:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
\color{black}{1} & \color{black}{-2} & \color{black}{-1.5} & \color{black}{1} \ \ \ \\
\color{red}{5}-\color{green}{5} & \color{red}{-1}-\color{green}{(-10)} & \color{red}{-5}-\color{green}{(-7.5)} & \color{red}{-12}-\color{green}{5} \\
-3 & 6 & 3 & -9
\end{array}\right) $$
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
\color{black}{1} & \color{black}{-2} & \color{black}{-1.5} & \color{black}{1} \ \ \ \\
0 & -11 & -12.5 & -17 \\
-3 & 6 & 3 & -9
\end{array}\right) $$
Die erste 0 ist erzeugt. Dasselbe machen wir nun nochmal für die dritte Zeile: Multipliziere die erste Zeile mit $-3$ (erster Eintrag der dritten Zeile) und schreibe das Ergebnis über die Matrix:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
\bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{-2}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{-1.5}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} \ \ \ \color{red}{\mid \ \cdot \ (-3)}\\
0 & -11 & -12.5 & -17 \\
\color{red}{-3} & 6 & 3 & -9
\end{array}\right) $$
$$ \begin{array}{ccc|c}
\bbox[green,5px]{\color{white}{-3}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{6}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{4.5}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-3}} \end{array} \\
\left(\begin{array}{ccc|c}
\color{black}{1} & \color{black}{-2} & \color{black}{-1.5} & \color{black}{1} \ \ \ \\
0 & -11 & -12.5 & -17 \\
-3 & 6 & 3 & -9
\end{array}\right) $$
Subtrahiere das vorhin ausgerechnete Ergebnis von der dritten Zeile:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
\color{black}{1} & \color{black}{-2} & \color{black}{-1.5} & \color{black}{1} \ \ \ \\
0 & -11 & -12.5 & -17 \\
\color{red}{(-3)}-\color{green}{(-3)} & \color{red}{6}-\color{green}{6} & \color{red}{3}-\color{green}{4.5} & \color{red}{-9}-\color{green}{(-3)}
\end{array}\right) $$
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
\color{black}{1} & \color{black}{-2} & \color{black}{-1.5} & \color{black}{1} \ \ \ \\
0 & -11 & -12.5 & -17 \\
0 & 0 & -1.5 & -6
\end{array}\right) $$
Du hast Glück gehabt: Die Matrix ist nun schon in Dreiecksform, obwohl du nur zweimal beabsichtigt $0$-er hinzugefügt hast. Der dritte ist quasi 'zufällig' entstanden. Im zweiten Beispiel hast du jedoch leider nicht dieses Glück. Aber jetzt weiter mit dem Beispiel.
Um nun auf die Lösung zu kommen löst du das GLS von unten nach oben. Dies sieht folgendermaßen aus:
Die letzte Gleichung in der normalen Form geschrieben lautet $-1.5z=-6$. Du siehst sofort, dass $z=4$ ist. Wenn du jetzt die zweite Zeile normal anschreibst und für $z$ den Wert einsetzt, erhältst du $ -11y - 12.5 \cdot (-4) = -17 $. Umformen auf $y$ führt zu $y=-3$. Schließlich setzt du $y$ und $z$ in die erste Gleichung ein. Du kommst auf $ 1x- 2 \cdot (-3) -1.5 \cdot 4 = 1 $. Wenn du wieder auf $x$ umformst, erhältst du $x=1$.
Die Lösung des GLS liegt somit bei $x=1, y=-3$ und $z=4$.
Beispiel 2:
Löse das GLS
$$
a + 2b +c = 3 \\[8pt]
-3a +2b -6c = -26 \\[8pt]
-2a + 5b +7c =12
$$
Die Lösung:
Schreibe das GLS als erweiterte Koeffizientenmatrix:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 3 \\
-3 & 2 & -6 & -26 \\
-2 & 5 & 7 & 12
\end{array}\right)$$
Wende nun das Gauß Verfahren auf die Koeffizientenmatrix an:
Dividiere die erste Zeile durch den ersten Eintrag der Koeffizientenmatrix ($1$):
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
\bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{2}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{3}} \ \ \ \color{red}{\mid \ \div \ 1}\\
-3 & 2 & -6 & -26 \\
-2 & 5 & 7 & 12
\end{array}\right) $$
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 3 \\
-3 & 2 & -6 & -26 \\
-2 & 5 & 7 & 12
\end{array}\right) $$
Multipliziere die erste Zeile mit $-3$ (erster Eintrag der zweiten Zeile) und schreibe das Ergebnis über die Matrix:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
\bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{2}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{3}} \ \ \ \color{red}{\mid \ \cdot \ (-3)}\\
\color{red}{-3} & 2 & -6 & -26 \\
-2 & 5 & 7 & 12
\end{array}\right) $$
$$ \begin{array}{ccc|c}
\bbox[green,5px]{\color{white}{-3}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-6}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-3}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-9}} \end{array} \\
\left(\begin{array}{ccc|c}
\color{black}{1} & \color{black}{2} & \color{black}{1} & \color{black}{3} \ \ \ \\
-3 & 2 & -6 & -26 \\
-2 & 5 & 7 & 12
\end{array}\right) $$
Subtrahiere das vorhin ausgerechnete Ergebnis von der zweiten Zeile:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
\color{black}{1} & \color{black}{2} & \color{black}{1} & \color{black}{3} \ \ \ \\
\color{red}{(-3)}-\color{green}{(-3)} & \color{red}{2}-\color{green}{(-6)} & \color{red}{(-6)}-\color{green}{(-3)} & \color{red}{-26}-\color{green}{(-9)} \\
-2 & 5 & 7 & 12
\end{array}\right) $$
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
\color{black}{1} & \color{black}{2} & \color{black}{1} & \color{black}{3} \ \ \ \\
0 & 8 & -3 & -17 \\
-2 & 5 & 7 & 12
\end{array}\right) $$
Die erste 0 ist erzeugt. Dasselbe machen wir nun nochmal für die dritte Zeile: Multipliziere die erste Zeile mit $-2$ (erster Eintrag der dritten Zeile) und schreibe das Ergebnis über die Matrix:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
\bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{2}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{3}} \ \ \ \color{red}{\mid \ \cdot \ (-2)}\\
0 & 8 & -3 & -17 \\
\color{red}{-2} & 5 & 7 & 12
\end{array}\right) $$
$$ \begin{array}{ccc|c}
\bbox[green,5px]{\color{white}{-2}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-4}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-2}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-6}} \end{array} \\
\left(\begin{array}{ccc|c}
\color{black}{1} & \color{black}{2} & \color{black}{1} & \color{black}{3} \ \ \ \\
0 & 8 & -3 & -17 \\
-2 & 5 & 7 & 12
\end{array}\right) $$
Subtrahiere das vorhin ausgerechnete Ergebnis von der dritten Zeile:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
\color{black}{1} & \color{black}{2} & \color{black}{1} & \color{black}{3} \ \ \ \\
0 & 8 & -3 & -17 \\
\color{red}{(-2)}-\color{green}{(-2)} & \color{red}{5}-\color{green}{(-4)} & \color{red}{7}-\color{green}{(-2)} & \color{red}{12}-\color{green}{(-6)}
\end{array}\right) $$
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
\color{black}{1} & \color{black}{2} & \color{black}{1} & \color{black}{3} \ \ \ \\
0 & 8 & -3 & -17 \\
0 & 9 & 9 & 18
\end{array}\right) $$
Dividiere die zweite Zeile durch den zweiten Eintrag der Koeffizientenmatrix ($8$):
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 3 \\
\bbox[red,5px]{\color{white}{0}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{8}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{-3}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{-17}} \ \ \ \color{red}{\mid \ \div \ 8} \\
0 & 9 & 9 & 18
\end{array}\right) $$
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 1 & \frac{-3}{8} & \frac{-17}{8} \\
0 & 9 & 9 & 18
\end{array}\right) $$
Multipliziere die zweite Zeile mit $9$ (zweiter Eintrag der zweiten Zeile) und schreibe das Ergebnis über die Matrix:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 3 \\
\bbox[red,5px]{\color{white}{0}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{\frac{-3}{8}}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{\frac{-17}{8}}} \ \ \ \color{red}{\mid \ \cdot \ 9} \\
0 & 9 & 9 & 18
\end{array}\right) $$
$$ \begin{array}{ccc|c}
\bbox[green,5px]{\color{white}{0}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{9}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{\frac{-27}{8}}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{\frac{-153}{8}}} \end{array} \\
\left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 1 & \frac{-3}{8} & \frac{-17}{8} \\
0 & 9 & 9 & 18
\end{array}\right) $$
Subtrahiere das vorhin ausgerechnete Ergebnis von der dritten Zeile:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 1 & \frac{-3}{8} & \frac{-17}{8} \\
\color{red}{0}-\color{green}{0} & \color{red}{9}-\color{green}{9} & \color{red}{9}-\color{green}{(\frac{-27}{8})} & \color{red}{18}-\color{green}{\frac{(-153)}{8}}
\end{array}\right) $$
$$ \left(\begin{array}{ccc|c}
1 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 1 & \frac{-3}{8} & \frac{-17}{8} \\
0 & 0 &12 \frac{3}{8} & 37 \frac{1}{8}
\end{array}\right) $$
Die Matrix ist nun in Dreiecksgestalt! Um nun auf die Lösung zu kommen löst du das GLS von unten nach oben. Dies sieht folgendermaßen aus:
Die letzte Gleichung in der normalen Form geschrieben lautet $12 \frac{3}{8}z=37 \frac{1}{8}$. Formst du auf $z$ um, bekommst du $z=3$. Wenn du jetzt die zweite Zeile normal anschreibst und für $z$ den Wert einsetzt, erhältst du $ y - \frac{3}{8} \cdot 3 = \frac{-17}{8} $. Umformen auf $y$ führt zu $y=-1$. Schließlich setzt du $y$ und $z$ in die erste Gleichung ein. Du kommst auf $ 1x+ 2 \cdot (-1) + 3 = 3 $. Wenn du wieder auf $x$ umformst, erhältst du $x=2$.
Die Lösung des GLS liegt somit bei $x=2, y=-1$ und $z=3$.
Abschließende Bemerkungen
Der Gauß Algorithmus kann auch für Matrizen höherer Dimensionen verwendet werden. Übe dieses Verfahren regelmäßig und im Nu merkst du, dass du damit am besten GLS lösen kannst.
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