Kreissektor Flächeninhalt

4.Klasse (Österreichischer Schulplan)

Information:
Den Flächeninhalt eines Kreissektors berechnest du mit folgender Formel:

$A = \dfrac{r^2 \cdot \alpha \cdot \pi }{360} \\[6pt]$

Dabei ist

$r$ der Radius des Kreises,

$\alpha$ der Winkel des Kreissektors und

$\pi$ eine irrationale Zahl (

$\pi = 3.1415926$ ). Auf dem Taschenrechner gibt es eine eigene Taste für

$\pi$ .

Beispiele:
1) Berechne den Flächeninhalt eines Kreissektors mit dem Radius von

$8 \ cm$ und einem Winkel von

$108°$ .

Antwort:
Einsetzen in die Formel

$A = \dfrac{r^2 \cdot \alpha \cdot \pi }{360}$ ergibt

$A = \dfrac{8^2 \cdot 108 \cdot \pi }{360} = \dfrac{64 \cdot 108 \cdot \pi}{360} = \dfrac{6912 \cdot \pi}{360} = \dfrac{21714.688}{360} = \underline{\underline{60.319 \ cm^2 }}$

2) Berechne den Flächeninhalt eines Kreissektors mit dem Radius von

$3 \ cm$ und einem Winkel von

$318°$ .

Antwort:
Einsetzen in die Formel

$A = \dfrac{r^2 \cdot \alpha \cdot \pi }{360}$ ergibt

$A = \dfrac{3^2 \cdot 318 \cdot \pi }{360} = \dfrac{9 \cdot 318 \cdot \pi}{360} = \dfrac{2862 \cdot \pi}{360} = \dfrac{8991.238}{360} = \underline{\underline{24.976 \ cm^2 }}$

Umkehraufgaben:
Du kannst die Formeln auch umformen. Es gilt also:

$r = \sqrt{\dfrac{360 \cdot A}{\alpha \cdot \pi}} \\[6pt]$

$\alpha = \dfrac{360 \cdot A}{r^2 \cdot \pi}$

Beispiele:
1) Ein Kreissektor mit dem Winkel von

$76°$ hat den Flächeninhalt von

$30 \ cm^2$ . Berechne den Radius!

Antwort:
Einsetzen in die Formel

$r = \sqrt{\dfrac{360 \cdot A}{\alpha \cdot \pi}}$ ergibt

$r = \sqrt{\dfrac{360 \cdot 30}{76 \cdot \pi}} = \sqrt{\dfrac{10800}{238.761}} = \sqrt{45.234}=\underline{\underline{6.726}}$

2) Ein Kreissektor mit dem Radius von

$8 \ cm$ hat den Flächeninhalt von

$20 \ cm$ . Berechne den Winkel!

Antwort:
Einsetzen in die Formel

$\alpha = \dfrac{360 \cdot A}{r^2 \cdot \pi}$ ergibt

$\alpha = \dfrac{360 \cdot 20}{8^2 \cdot \pi} = \dfrac{7200}{201.062} = \underline{\underline{35.81}} \\[6pt]$
Antwort: Der Winkel beträgt also ungefähr

$35.81°$ .

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