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Kreissektor Flächeninhalt

4.Klasse (Österreichischer Schulplan)


Information:
Den Flächeninhalt eines Kreissektors berechnest du mit folgender Formel:

$ A = \dfrac{r^2 \cdot \alpha \cdot \pi }{360} \\[6pt]$


Dabei ist $ r $ der Radius des Kreises, $ \alpha $ der Winkel des Kreissektors und $ \pi $ eine irrationale Zahl ($ \pi = 3.1415926 $). Auf dem Taschenrechner gibt es eine eigene Taste für $ \pi $.


Beispiele:
1) Berechne den Flächeninhalt eines Kreissektors mit dem Radius von $8 \ cm$ und einem Winkel von $ 108° $.

Antwort:
Einsetzen in die Formel $ A = \dfrac{r^2 \cdot \alpha \cdot \pi }{360} $ ergibt $ A = \dfrac{8^2 \cdot 108 \cdot \pi }{360} = \dfrac{64 \cdot 108 \cdot \pi}{360} = \dfrac{6912 \cdot \pi}{360} = \dfrac{21714.688}{360} = \underline{\underline{60.319 \ cm^2 }}$



2) Berechne den Flächeninhalt eines Kreissektors mit dem Radius von $3 \ cm$ und einem Winkel von $ 318° $.

Antwort:
Einsetzen in die Formel $ A = \dfrac{r^2 \cdot \alpha \cdot \pi }{360} $ ergibt $ A = \dfrac{3^2 \cdot 318 \cdot \pi }{360} = \dfrac{9 \cdot 318 \cdot \pi}{360} = \dfrac{2862 \cdot \pi}{360} = \dfrac{8991.238}{360} = \underline{\underline{24.976 \ cm^2 }}$


Umkehraufgaben:
Du kannst die Formeln auch umformen. Es gilt also:
$r = \sqrt{\dfrac{360 \cdot A}{\alpha \cdot \pi}} \\[6pt]$
$\alpha = \dfrac{360 \cdot A}{r^2 \cdot \pi}$


Beispiele:
1) Ein Kreissektor mit dem Winkel von $ 76° $ hat den Flächeninhalt von $ 30 \ cm^2 $. Berechne den Radius!

Antwort:
Einsetzen in die Formel $r = \sqrt{\dfrac{360 \cdot A}{\alpha \cdot \pi}} $ ergibt $r = \sqrt{\dfrac{360 \cdot 30}{76 \cdot \pi}} = \sqrt{\dfrac{10800}{238.761}} = \sqrt{45.234}=\underline{\underline{6.726}} $



2) Ein Kreissektor mit dem Radius von $ 8 \ cm $ hat den Flächeninhalt von $ 20 \ cm $. Berechne den Winkel!

Antwort:
Einsetzen in die Formel $\alpha = \dfrac{360 \cdot A}{r^2 \cdot \pi}$ ergibt $\alpha = \dfrac{360 \cdot 20}{8^2 \cdot \pi} = \dfrac{7200}{201.062} = \underline{\underline{35.81}} \\[6pt] $
Antwort: Der Winkel beträgt also ungefähr $ 35.81° $.



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