Komplexe Zahlen multiplizieren

7.Klasse (Österreichischer Schulplan)

7.Klasse // Komplexe Zahlen // Komplexe Zahlen multiplizieren

Information:

Auf dieser Seite erklären wir dir, wie du zwei komplexe Zahlen miteinander multiplizierst.

Um diesen Artikel bestmöglich zu verstehen, solltest du bereits wissen, was komplexe Zahlen überhaupt sind. Außerdem solltest du wissen, wie das Addieren sowie das Subtrahieren von komplexen Zahlen funktioniert. Falls du das nicht weißt, findest du unter den folgenden Links Erklärungen dazu.

Definition:

Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen $\color{red}{z_1=a_1+b_1i}$ und $\color{blue}{z_2=a_2+b_2i}$ ist folgendermaßen definiert:

$(\color{red}{a_1+b_1i}) \cdot (\color{blue}{a_2+b_2i}) = \\[8pt] \color{red}{a_1} \cdot \color{blue}{a_2} + \color{red}{a_1} \cdot \color{blue}{b_2i} + \color{red}{b_1i} \cdot \color{blue}{a_2} + \color{red}{b_1i} \cdot \color{blue}{b_2i} \overset{\text{es gilt: $i^2=1$}}{{=}} \\[8pt] \underline{\underline{( \color{red}{a_1} \cdot \color{blue}{a_2} - \color{red}{b_1} \cdot \color{blue}{b_2} ) + ( \color{red}{a_1} \cdot \color{blue}{b_2} + \color{red}{b_1} \cdot \color{blue}{a_2} ) i}}$

Du musst dir die Formel nicht auswendig merken!
Denn das Multiplizieren von komplexen Zahlen funktioniert gleich wie das Ausmultiplizieren von Binomen. Im Hinterkopf solltest du aber haben, dass $i^2=-1$ ist. Auf der folgenden Abbildung haben wir für dich dieses Prinzip nochmal veranschaulicht:

Weitere Beispiele:

$ (\color{red}{3+2i}) \cdot (\color{blue}{4+5i}) = \color{red}{3} \cdot \color{blue}{4} + \color{red}{3} \cdot \color{blue}{5i} + \color{red}{2i} \cdot \color{blue}{4} + \color{red}{2i} \cdot \color{blue}{5i} = ( 12 - 10 ) + ( 15 + 8 ) i = \mathbf{2 + 23i} \\[8pt] (\color{red}{-2+i}) \cdot (\color{blue}{6-5i}) = (\color{red}{-2}) \cdot \color{blue}{6} + (\color{red}{-2}) \cdot (\color{blue}{-5i}) + \color{red}{i} \cdot \color{blue}{6} + \color{red}{i} \cdot (\color{blue}{-5i}) = ( -12 - (-5) ) + ( 10 + 6 ) i = \mathbf{-7 + 16i} \\[8pt] (\color{red}{-7+3i}) \cdot (\color{blue}{-4-7i}) = (\color{red}{-7}) \cdot (\color{blue}{-4}) + (\color{red}{-7}) \cdot (\color{blue}{-7i}) + \color{red}{3i} \cdot (\color{blue}{-4}) + \color{red}{3i} \cdot (\color{blue}{-7i}) = ( 28 + 21 ) + ( 49 - 12 ) i = \mathbf{49 + 37i} $

Hinweis: Statt $1i$ schreibst du oftmals auch nur $i$. Nur damit du nicht verwirrt bist, falls dir $i$ unterkommt.

Rechner:
Multipliziere zwei komplexe Zahlen online

Gib hier zwei komplexe Zahlen ein. Diese werden dann samt Zwischenschritten mithilfe dieses Rechners multipliziert.

Rechengesetze, die gelten:

Assoziativgesetz:
$ x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z $

Beispiel: $ (2+3i) \cdot ((2+4i) \cdot (4-6i)) = ((2+3i) \cdot (2+4i)) \cdot (4-6i) $

Kommutativgesetz
$a \cdot b = b \cdot a$

Beispiel: $(3-5i) \cdot (6-i) = (6-i) \cdot (3-5i)$

Distributivgesetz
$a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c$ und $(a \pm b) \cdot c = a \cdot c \pm b \cdot c$

Beispiel: $(2+3i) \cdot ((5-7i) \pm (-2+6i)) = (2+3i) \cdot (5-7i) \pm (2+3i) \cdot (-2+6i)$

Abgeschlossenheit
Wenn du zwei komplexe Zahlen miteinander multiplizierst, kommt stets wieder eine komplexe Zahl heraus.

Über die Autoren dieser Seite

Unsere Seiten werden von einem Team aus Experten erstellt, gepflegt sowie verwaltet. Wir sind alle Mathematiker und Lehrer mit abgeschlossenem Studium und wissen, worauf es bei mathematischen Erklärungen ankommt. Deshalb erstellen wir Infoseiten, programmieren Rechner und erstellen interaktive Beispiele, damit dir Mathematik noch begreifbarer gemacht werden kann. Dich interessiert unser Projekt? Dann melde dich bei admin@mathespass.at!