Differentialquotient

Information
Um diesen Artikel bestmöglich zu verstehen, solltest du wissen, was der Differenzenquotient ist. Falls du nicht weißt, was das ist, kannst du es hier nochmal nachlesen.

Kurzzusammenfassung:
Differenzenquotient $ \Leftrightarrow $ Sekantensteigung $ \Leftrightarrow \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$
Bei dem Differenzenquotient wird die Sekantensteigung zwischen zwei Punkten $(a,f(a))$ und $(b,f(b))$, welche beide auf der Funktion liegen, ausgerechnet.

Anschauliche Erklärung

Zur Erinnerung:
Betrachte die Funktion $ f(x)=0.25 \cdot x^2 $ und zeichne die Sekante zwischen den Punkten $A=(-2,1)$ und $B=(0/0)$ ein.


Wir sehen also: Wir können problemlos die Steigung einer Funktion zwischen zwei Punkten berechnen. Wir verwenden dazu einfach die Formel für den Differenzenquotienten, also $\text{Steigung}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=\dfrac{0-1}{0- (-2)}=-0.5$. Die Sekantensteigung beträgt also $-0.5$.

Doch wie schaut es aus, wenn die beiden Punkte immer näher "zusammenrutschen"? Der naheliegendste Gedanke wäre, einfach zweimal denselben Punkt in die Formel für die Sekantensteigung einzusetzen. Doch das klappt nicht, da wenn wir beispielsweise zweimal den Punkt $A$ einsetzen, sich das Folgende ergibt: $$ \dfrac{1-1}{\color{red}{-2 - (-2)}}= \dfrac{0}{\color{red}{-2+2}} = \dfrac{0}{\color{red}{0}} $$ Jedoch ist es bekanntlich verboten durch Null zu dividieren. Wir müssen also anders vorgehen:

Was ist jedoch, wenn wir wiederum den Differenzenquotienten herannehmen, jedoch den Punkt B immer näher zum Punkt A "heranstreben" lassen? Das heißt, der Punkt B nähert sich dem Punkt A, ist jedoch nicht der Punkt A. Dann ergibt sich nicht das Problem mit der Teilung durch Null. Schau dir hierfür am besten die folgende Animation an:



Wir sehen: Die Sekante wird zur Tangente.

Das Ganze können wir natürlich auch mathematisch ausdrücken. Und zwar mit dem Limes. (Den Abstand zwischen den Punkten $A$ und $B$ bezeichnen wir mit $a$) $$ \lim\limits_{a \rightarrow 0}{\ \dfrac{f(x+a)-f(x)}{x+a-x}} = \lim\limits_{a \rightarrow 0}{\ \dfrac{f(x+a)-f(x)}{a}} $$
Berechnest du nun allgemein den Limes, leitest du die Funktion ab. Dies illustrieren wir anhand von zwei Beispielen