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Krümmungsverhalten

7.Klasse (Österreichischer Schulplan)


Information:
Auf dieser Seite erklären wir dir, wie du das Krümmungsverhalten einer Funktion bestimmst. Für dieses Thema ist entscheidend, dass du weißt, wie du die Wendepunkte einer Funktion ermitteln kannst. Falls du nicht weißt, wie das geht, kannst du es hier nochmal nachlesen.


Information:


Mithilfe des Krümmungsverhaltens kannst du bestimmen, in welchem Bereich eine Funktion links gekrümmt (positiv gekrümmt) beziehungsweise wo sie rechts gekrümmt (negativ gekrümmt) ist.

Diese Definition solltest du bereits kennen:
Eine Funktion heißt links gekrümmt beziehungsweise positiv gekrümmt an der Stelle $x$, falls $ f''(x)>0 $ gilt.
Eine Funktion heißt rechts gekrümmt beziehungsweise negativ gekrümmt an der Stelle $x$, falls $ f''(x)>0 $ gilt.

Das Krümmungsverhalten zu bestimmen ist ganz einfach. Befolge einfach die folgende Anleitung.


Anleitung:


  1. Bestimme zuerst die Wendepunkte der Funktion
  2. Ordne die Wendepunkte nach Größe (d.h. vom kleinsten x-Wert zum größten)
  3. Bei jedem Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten. War also die Funktion bis zum Wendepunkt links gekrümmt, dann ist sie nach dem Wendepunkt rechts gekrümmt. Und umgekehrt.
  4. Es fehlt noch das Krümmungsverhalten vor dem 1.Wendepunkt: Das kann aber einfach ermittelt werden: Du nimmst einen x-Wert vor dem 1.Wendepunkt und setzt ihn in die 2.Ableitung ein. Kommt etwas Positives raus, dann ist die Funktion bis zum Wendepunkt links gekrümmt. Ist etwas Negatives dein Ergebnis, dann ist sie rechts gekrümmt.

Merkspruch:
Wendepunkte berechnen - Krümmungsverhalten vor dem 1.Wendepunkt bestimmen - nach jedem Wendepunkt ändert sich das Krümmungsverhalten


Beispiel:
Bestimme das Krümmungsverhalten der Funktion $f(x)=3x^3$.

Die Lösung:
1) Bestimme die Wendestellen der Funktion
erste Ableitung: $ f'(x)=3 \cdot 3x^2 = 9x^2 $
zweite Ableitung: $ f''(x)=2 \cdot 9x = 18x $
Gleich Null setzen: $ 18x = 0 \Rightarrow x = 0 $.
Der einzige Wendepunkt liegt also bei $x=0$.

2) Krümmungsverhalten vor dem 1.Wendepunkt bestimmen
Wähle $x=-1$. Setze nun in $f''(x)$ ein:
$ f''(-1)=18 \cdot (-1) =-18 $
Da die zweite Ableitung negativ ist, ist die Funktion bis zum Wendepunkt rechts gekrümmt (negativ gekrümmt).

3) Nach Größe ordnen
Es gibt nur einen Wendepunkt - deshalb brauchen wir nichts zu ordnen.

4) Krümmungstabelle aufstellen
$x < 0$ oder $ (- \infty, 0) $ $ x= 0 $ $ x > 0 $ oder $ (0 , \infty) $
rechts gekrümmt (negativ gekrümmt) Wendepunkt links gekrümmt (positiv gekrümmt)




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