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Irrationale Zahlen
5.Klasse (Österreichischer Schulplan)
Beispiele:
$\pi$, $ e $, $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{2.5}, \phi $
Die reellen Zahlen sind die rationalen Zahlen zusammen mit den irrationalen Zahlen.
Themengebiete aus früheren Klassen:
Quadratwurzel
Kubikwurzel
Exkurse! (Hier endet der Schulstoff)
Beweis der Irrationalität von $ \color{green}{\sqrt{2}} $
Der Beweis erfolgt indirekt. Angenommen $ \color{green}{\sqrt{2}} $ wäre eine rationale Zahl. Dann könnte man $ \color{green}{\sqrt{2}} $ als Bruch darstellen, d.h. man könnte schreiben: $ \color{green}{\sqrt{2}} = \dfrac{m}{n} $. Wir nehmen ferner an, dass der Bruch vollständig gekürzt ist, was soviel heißt, dass $m$ und $n$ teilerfremd sind.
Wir formen nun die - oben aufgestellte - Gleichung um:
$ \color{green}{\sqrt{2}} = \dfrac{m}{n} \ \mid \ ^2 \\[8pt] 2 = \dfrac{m^2}{n^2} \ \mid \cdot \ n^2 \\[8pt] 2n^2 = m^2$
Da $2n^2$ eine gerade Zahl ist (wegen dem Faktor $2$), muss daraus folgen, dass $m^2$ auch eine gerade Zahl ist. Daraus folgt wiederum, dass $m$ eine gerade Zahl ist. $m$ lässt sich somit als $m=2k$ darstellen.
Einsetzen von $2k$ für $m$ in die obere Gleichung ergibt:
$2n^2=(2k)^2 \ \Leftrightarrow \\[6pt]
2n^2=4k^2 \ \mid \div 2 \\[6pt] n^2 = 2k^2 $
Da $2k^2$ eine gerade Zahl ist, muss daraus folgen, dass $n^2$ auch eine gerade Zahl ist. Daraus folgt wiederum, dass $n$ eine gerade Zahl ist. $n$ lässt sich somit als $n=2l$ schreiben.
Wir erhalten nun einen Widerspruch zur Annahme, dass $m$ und $n$ teilerfremd sind, da beide Zahlen durch zwei teilbar sind (wegen dem Faktor $2$).
Somit muss das Gegenteil der Annahme gelten, also dass $ \color{green}{\sqrt{2}} $ keine rationale Zahl ist, sondern eine irrationale.
(Dieser Beweis wurde bereits im 3.Jahrhundert v. Chr. von dem Mathematiker Euklid geführt)
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