Extremstellen - Hochpunkt + Tiefpunkt

7.Klasse (Österreichischer Schulplan)

Information:
Auf dieser Seite erklären wir dir, was Extrempunkte überhaupt sind und wie du sie von einer Funktion bestimmst. Für dieses Thema ist entscheidend, dass du die Ableitung einer Funktion berechnen kannst. Falls du nicht weißt, wie das geht, kannst du es hier nochmal nachlesen.

Inhaltsverzeichnis:

Definition von einem Extrempunkt
Unterscheidung in Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt
Durchgerechnete Beispiele

Definition:

Hinweis: Wir betrachten nur Funktionen von $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$

Für einen Extrempunkt gilt, dass die erste Ableitung an dem Punkt gleich $0$ ist und die zweite Ableitung an dieser Stelle ungleich $0$ sein muss. Formal ausgedrückt bedeutet das so viel, dass wenn $x_0$ ein Extrempunkt sein soll, die Beziehungen

$ \begin{align} \ \ \ \ \ \ f'(x_0) = 0\\ \ \ \ \ \ \ f''(x_0) \ne 0 \end{align} $

erfüllt sein müssen.

Wichtige Bemerkung: Nur weil eine Stelle ein Extremum ist, heißt das nicht, dass die Funktion keine größeren bzw. kleineren Werte annehmen kann. Falls ein Extremum wirklich den größt- bzw. kleinstmöglichen Wert einer Funktion angibt, so wird das Extremum global genannt.

Schau dir das folgende Beispiel an:

Die erste Ableitung der Funktion sieht folgendermaßen aus:

Die Nullstellen der 1.Ableitung sind also die lokalen Extremstellen der Funktion. Punkt C ist auch eine Extremstelle, jedoch keine globale, da beispielsweise der Punkt A einen größeren Funktionswert hat als der Punkt C.

Unterscheidung in Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt

Extrempunkte (diese erfüllen die Eigenschaft $f'(x)=0$) können noch weiter unterteilt werden. Diese Unterteilung wird mithilfe der 2. Ableitung durchgeführt.

Ein Extrempunkt heißt Hochpunkt, falls zusätzlich zu der Eigenschaft $f'(x)=0$ noch gilt, dass $f''(x) < 0 $ ist.
Ein Extrempunkt heißt Tiefpunkt, falls zusätzlich zu der Eigenschaft $f'(x)=0$ noch gilt, dass $f''(x) > 0 $ ist.
Achtung Ausnahme! Falls zusätzlich zu der Eigenschaft $f'(x)=0$ noch gilt, dass $f''(x)=0$ und $f'''(x) \ne 0$ ist, handelt es sich nicht um einen Extrempunkt, sondern um einen Sattelpunkt!

Beispiele:
1) Bestimme die Extremstellen der Funktion $f(x)=x^2+2x$.

Die Lösung:

Berechne zuerst die 1.Ableitung der Funktion. Es ergibt sich: $f'(x)=2x+2$. Gleich Null setzen:

$2x+2=0 \Leftrightarrow \\[6pt] 2x = -2 \ \ \mid \div 2 \Leftrightarrow \\[6pt] x=-1$

Um den y-Wert zu bestimmen, setzt du in die ursprüngliche Funktion ein.
Du berechnest also $ f(-1)=(-1)^2+2 \cdot (-1) = 1-2=-1$. Der Punkt $X=(-1/-1)$ ist somit ein Extremum.

Um zu ermitteln, ob es sich bei $X$ um ein Maximum, ein Minumum oder einen Sattelpunkt handelt, benötigst du die 2.Ableitung. Bestimmen von $f''(x)$ ergibt $f''(x)=2$. Da $f''(x)>0$ ist, handelt es sich um ein Minimum.

2) Bestimme die Extremstellen der Funktion $f(x)=x^3+1$.

Die Lösung:

Berechne zuerst die 1.Ableitung der Funktion. Es ergibt sich: $f'(x)=3x^2$. Gleich Null setzen:

$3x^2=0 \ \ \mid \div 3 \Leftrightarrow \\[6pt] x^2 = 0 \ \ \mid \sqrt{} \Leftrightarrow \\[6pt] x=0$

Um den y-Wert zu bestimmen, setzt du in die ursprüngliche Funktion ein.
Du berechnest also $ f(0)=0^3+1 = 1$. Der Punkt $X=(0/1)$ ist somit ein Extremum, falls zusätzlich noch gilt, dass $f''(x) \ne 0$.

Um zu ermitteln, ob es sich bei $X$ um ein Maximum, ein Minumum oder einen Sattelpunkt handelt, benötigst du die 2.Ableitung. Bestimmen von $f''(x)$ ergibt $f''(x)=6x$. Es ergibt sich $f''(0)=6 \cdot 0=0$. Es handelt sich somit um einen Sattelpunkt und nicht um einen Extrempunkt, da ja $f''(x)=0$ ist.

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