Stetigkeit

7.Klasse (Österreichischer Schulplan)

Information:
Auf dieser Seite erklären wir dir, wie der Begriff Stetigkeit definiert ist.

Definition:
Eine Funktion heißt stetig, wenn du sie ohne mit dem Stift abzusetzen zeichnen kannst. Das heißt, dass die Funktion keine Sprungstellen haben darf.

Beispiele: Sind die folgenden Funktionen stetig?

$f(x)=x^2$

Ja, die Funktion ist stetig, weil du sie "in einem Durch" zeichnen kannst.

$f(x)=e^x$

Ja, die Funktion ist ebenfalls stetig, weil du sie "in einem Durch" zeichnen kannst.

$f(x)=cos(x)$

Ja, die Funktion ist auch stetig, weil du sie "in einem Durch" zeichnen kannst.

$f(x)=2$ für $x<0$, $f(x)=0$ für $x=0$ und $f(x)=-1$ für $x>0$

Diese Funktion ist nicht stetig, weil sie eine Sprungstelle (an der Stelle 0) hat.

Formale Definition:
Da es die Begriffe "in einem Durch zeichnen" oder "nicht Absetzen" in der Mathematik nicht gibt, ist es notwendig eine exakte Definition für Stetigkeit zu definieren.

Eine Funktion heißt stetig an der Stelle $x$, wenn der linksseitige Limes gleich dem rechtsseitigem Limes gleich dem Funktionswert an der Stelle $x$ ist.

Eine Funktion wird stetig genannt, wenn sie an allen Stellen ihrer Definitionsmenge stetig ist.

Epsilon-Delta Kriterium: Exkurs!
Eine Funktion heißt stetig in $a$, wenn es für jedes $ \epsilon>0 $ ein $ \delta>0 $ gibt, sodass für alle $ x \in D $ mit $ \mid x-a\mid < \delta $ gilt: $ \ \mid f(x)-f(a)\mid <\epsilon $

Welche Funktionen sind stetig? (Auswahl)
- Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen
- Polynomfunktionen
- Exponentialfunktionen

Exkurse! (Hier endet der Schulstoff)

Interessante unstetige Funktionen: $f(x)=sin(\frac{1}{x})$ für $x \neq 0$ und $f(x)=0$ für $x=0$

Diese Funktion ist nicht stetig, weil sie an der Stelle 0 nicht stetig ist.

Über die Autoren dieser Seite

Unsere Seiten werden von einem Team aus Experten erstellt, gepflegt sowie verwaltet. Wir sind alle Mathematiker und Lehrer mit abgeschlossenem Studium und wissen, worauf es bei mathematischen Erklärungen ankommt. Deshalb erstellen wir Infoseiten, programmieren Rechner und erstellen interaktive Beispiele, damit dir Mathematik noch begreifbarer gemacht werden kann. Dich interessiert unser Projekt? Dann melde dich bei admin@mathespass.at!