Pythagoräische Tripel

3.Klasse (Österreichischer Schulplan)

Definition:
Drei natürliche Zahlen

$a$ ,

$b$ und

$c$ heißen Pythagoräisches Tripel, wenn gilt:

$a^2+b^2=c^2$

Beispiele für Pythagoräische Tripel:

$a=3$ ,

$b=4$ ,

$c=5$ -->

$3^2+4^2=5^2$

$a=7$ ,

$b=24$ ,

$c=25$ -->

$7^2+24^2=25^2$

$a=5$ ,

$b=12$ ,

$c=13$ -->

$5^2+12^2=13^2$

$a=8$ ,

$b=15$ ,

$c=17$ -->

$8^2+15^2=17^2$

$a=9$ ,

$b=40$ ,

$c=41$ -->

$9^2+40^2=41^2$

Typische Beispiele:
1) Von einem Pythagoräischen Tripel sind die Werte

$a=6$ und

$c=10$ gegeben. Berechne

$b$ !

Lösung:

Einsetzen in die Formel

$a^2+b^2=c^2$ ergibt

$6^2+b^2=10^2$ .

Umformen:

$36 +b^2 =100 \Leftrightarrow \\[10pt] 36 +b^2 =100 \ \mid -36 \Leftrightarrow \\[10pt] b^2=64 \ \mid \sqrt{} \ \Leftrightarrow \\[10pt] \underline{\underline{b=8}}$

2) Begründe, warum es nur ein einziges pythagoräisches Tripel mit drei aufeinanderfolgenden Werten gibt!

Lösung:

Das pythagoräische Tripel muss die Gleichung

$a^2+(a+1)^2=(a+2)^2$ erfüllen (weil die Werte aufeinanderfolgend sein müssen).
Nun vereinfachen wir die Gleichung und formen sie um:

$a^2+a^2+2a+1=a^2+4a+4 \Leftrightarrow \\[10pt] 2a^2+2a+1=a^2+4a+4 \Leftrightarrow \\[10pt] a^2-2a-3=0 \\[10pt]$
Durch das Verwenden der kleinen Lösungsformel erhält man als einzige natürliche Lösung

$\underline{\underline{ a=3 }}$ .

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