Definition:
Drei natürliche Zahlen a, b und c heißen Pythagoräisches Tripel, wenn gilt: a2+b2=c2
Beispiele für Pythagoräische Tripel:
a=3,
b=4,
c=5 -->
32+42=52
a=7,
b=24,
c=25 -->
72+242=252
a=5,
b=12,
c=13 -->
52+122=132
a=8,
b=15,
c=17 -->
82+152=172
a=9,
b=40,
c=41 -->
92+402=412
Typische Beispiele:
1) Von einem Pythagoräischen Tripel sind die Werte
a=6 und
c=10 gegeben. Berechne
b!
Lösung:
Einsetzen in die Formel a2+b2=c2 ergibt 62+b2=102.
Umformen:
36+b2=100⇔36+b2=100 ∣−36⇔b2=64 ∣√ ⇔b=8__
2) Begründe, warum es nur ein einziges pythagoräisches Tripel mit drei aufeinanderfolgenden Werten gibt!
Lösung:
Das pythagoräische Tripel muss die Gleichung
a2+(a+1)2=(a+2)2 erfüllen (weil die Werte aufeinanderfolgend sein müssen).
Nun vereinfachen wir die Gleichung und formen sie um:
a2+a2+2a+1=a2+4a+4⇔2a2+2a+1=a2+4a+4⇔a2−2a−3=0
Durch das Verwenden der
kleinen Lösungsformel erhält man als einzige natürliche Lösung
a=3__.
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