Skalarprodukt

5.Klasse (Österreichischer Schulplan)

Information:
Wenn du zwei Vektoren multiplizierst, erhältst du als Ergebnis eine Zahl (= Skalar) und nicht einen Vektor. Deshalb wird das Multiplizieren von Vektoren auch Skalarprodukt genannt.

Formel:
$ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \end{pmatrix} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 $

Beispiele:
1. Zeichne die Vektoren $ \vec{a} = \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\ \end{pmatrix}$ und $ \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix}$ und berechne dann ihr Skalarprodukt.

Die Lösung:

Graphische Darstellung:

Skalarprodukt:
$ \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix} = -4 \cdot 3 + 4 \cdot 5 = -12 + 20 = \mathbf{8} $

2. Zeichne die Vektoren $ \vec{a} = \begin{pmatrix} -6 \\ 7 \\ \end{pmatrix}$ und $ \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix}$ und berechne dann ihr Skalarprodukt.

Die Lösung:

Graphische Darstellung:

Skalarprodukt:
$ \begin{pmatrix} -6 \\ 7 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ \end{pmatrix} = -6 \cdot -1 + 7 \cdot (-3) = 6 + (-21) = \mathbf{-15} $

Aussagen über den eingeschlossenen Winkel zwischen zwei Vektoren, welche mithilfe des Skalarproduktes getroffen werden können
1. Ist das Skalarprodukt eine positive Zahl, so ist der Winkel, den die beiden Vektoren einschließen ein spitzer Winkel.
2. Ist das Skalarprodukt Null, so ist der Winkel, den die beiden Vektoren einschließen ein rechter Winkel.
3. Ist das Skalarprodukt eine negative Zahl, so ist der Winkel, den die beiden Vektoren einschließen ein stumpfer Winkel.

Zusätzliche Bemerkungen: Nicht relevant für die Schule!
Das Skalarprodukt wird oftmals mittels zwei spitzer Klammern angeschrieben. So entspricht das Skalarprodukt $< a,b >$ beispielsweise $ \vec{a} \cdot \vec{b} $. Die Schreibweise mit runden Klammern (z.B. $( a,b )$) ist jedoch ebenfalls üblich.

Darüber hinaus gelten für ein Skalarprodukt die folgenden Rechengesetze:

$(x,x) \geq 0 $ und $0$ genau dann, wenn $x$ der Nullvektor ist
$(\alpha \cdot x + \beta \cdot y,z) = \alpha \cdot (x,z) + \beta \cdot (y,z) $
$(x,y)= \overline{(y,x)} $

Illustration der Rechengesetze:
Wir betrachten die Vektoren $ \vec{x}=\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ \end{pmatrix} $, $ \vec{y}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} $ sowie $ \vec{z}=\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ \end{pmatrix} $ und rechnen nun die Rechengesetze nach:

$ (x,x) = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ \end{pmatrix} = -2 \cdot -2 + 4 \cdot 4 = 4 + 16 = \mathbf{20} > 0$
Das erste Rechengesetz hat sich somit bestätigt.

Wir wählen $\alpha=2$ und $\beta=-1$ und berechnen zunächst $ \alpha \cdot x + \beta \cdot y$.

Das ergibt: $ 2 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 8 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ 9 \\ \end{pmatrix} $.

Einsetzen in $ (\alpha \cdot x + \beta \cdot y,z) $ egibt nun $ \begin{pmatrix} -5 \\ 9 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ \end{pmatrix} = -5 \cdot 2 + 9 \cdot (-3) = -10 + (-27) = \mathbf{-37} $

Einsetzen in die zweite Formel $ \alpha \cdot (x,z) + \beta \cdot (y,z) $ ergibt:

$ 2 \cdot (x,z) - (y,z) = 2 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ \end{pmatrix} = 2 \cdot (-4-12)- (2+3) = 2 \cdot (-16) -5 = -32-5 = \mathbf{-37} $

Da bei beiden Rechnungen dasselbe Ergebnis herausgekommen ist, hat sich das zweite Rechengesetz bestätigt.

$(x,y)= x \cdot y = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} = -2 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) = -2 -4 =-6 $

$\overline{(y,x)}= y \cdot x = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ \end{pmatrix} = 1 \cdot -2 - 1 \cdot 4 = -2 -4 =-6$

Da bei beiden Rechnungen dasselbe Ergebnis herausgekommen ist, hat sich das dritte Rechengesetz bestätigt.

Cauchy-Schwarz-Ungleichung:
Für ein Skalarprodukt gilt die folgende Ungleichung: $$ \mid < x,y > \mid ^ 2 \ \ \leq \ \ < x,x > \cdot < y,y > $$ Die Ungleichung wurde nach dem französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy benannt.

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