Intervalle

Information

Inhaltsverzeichnis

Wofür braucht man überhaupt Intervalle?

Intervalle sind eine verkürzende Schreibweise um einen "Abschnitt" auf einer Zahlengerade anzugeben.


In diesem Intervall liegen also alle Zahlen zwischen $\color{red}{-2}$ und $\color{red}{3}$. ($-2$ und $3$ eingeschlossen)

Abgeschlossene und offene Intervalle:

Situation: Du möchtest alle Zahlen zwischen $-2$ und $3$ darstellen, jedoch ohne der $-2$. Das heißt, das Intervall läuft von $-2$ bis $3$, die $-2$ soll aber im Intervall nicht enthalten sein.

Lösung: Du drehst die eckige Klammer bei der $-2$ um. Haben wir vorher $[-2,3]$ geschrieben, so schreiben wir jetzt $\color{red}{]-2,3]}$.

Insgesamt ergeben sich somit vier Fälle für die Intervalle:

Abgeschlossenes Intervall

Das abgeschlossene Intervall gibt die Zahlen zwischen $x$ und $y$ an und schließt beide Grenzen mit ein. Im Intervall $[-2,3]$ sind also beispielsweise die Zahlen $-2,-1.5,-1,1,3 $ enthalten.

Links offenes, rechts geschlossenes Intervall

Das links offene, rechts geschlossene Intervall gibt die Zahlen zwischen $x$ und $y$ an und schließt die linke Grenze nicht mit ein. Im Intervall $[-2,3]$ sind also beispielsweise die Zahlen $-1.7,-1.5,-1,1,3 $ enthalten aber nicht die $\mathbf{-2}$.

Links geschlossene, rechts offene Intervall

Das links geschlossene, rechts offene Intervall gibt die Zahlen zwischen $x$ und $y$ an und schließt die rechte Grenze nicht mit ein. Im Intervall $[-2,3]$ sind also beispielsweise die Zahlen $-2,-1.5,-1,1,2 $ enthalten aber nicht die $\mathbf{3}$.

Offene Intervall

Das offene Intervall gibt die Zahlen zwischen $x$ und $y$ an und schließt beide Grenzen nicht mit ein. Im Intervall $[-2,3]$ sind also beispielsweise die Zahlen $-1.5,-1,0,1,1.5 $ enthalten aber nicht die $\mathbf{-2}$ und auch nicht die $\mathbf{3}$.

Alternative Schreibweise für Intervalle

Ist ein Intervall offen, so verwendet man oftmals statt den umgedrehten eckigen Klammern einfach runde Klammern.

Das offene Intervall $\color{red}{]4,7[}$ entspricht also $\color{red}{(4,7)}$ oder das linksoffene Intervall $\color{red}{]-5,-1]}$ ist gleich wie $\color{red}{(-5,-1]}$.

In der folgenden Tabelle fassen wir alle Schreibweisen nochmal kompakt zusammen:

Zusammenfassung der Schreibweisen

Name	Ungleichung	Schreibweise 1	Schreibweise 2
abgeschlossen	$x \leq m \leq y$	$[x,y]$	$[x,y]$
links offen, rechts geschlossen	$x < m \leq y$	$]x,y]$	$(x,y]$
links geschlossen, rechts offen	$x \leq m < y$	$[x,y[$	$[x,y)$
offen	$x < m < y$	$]x,y[$	$(x,y)$

Unendliche Intervalle

Es ändert sich der Theorie oben gegenüber nichts, nur dass unendlich nie zum Intervall dazugehört. Die Intervallsgrenze bei unendlich ist also stets offen!

Im Folgenden illustrieren wir die fünf verschiedenen Fälle wiederum detailliert. Diese Erklärung kannst du überspringen, falls du es jetzt schon verstanden hast.

Links unendliches, rechts abgeschlossenes Intervall

Das links unendliche, rechts abgeschlossene Intervall gibt die Zahlen zwischen $- \infty $ und $x$ an und schließt die rechte Grenzen mit ein. Im Intervall $]-\infty,3]$ sind also beispielsweise die Zahlen $...,-3,-2.7,-2,-1.5,-1,0,1,2.7,3 $ enthalten.

Links unendliches, rechts offenes Intervall

Das links unendliche, rechts offene Intervall gibt die Zahlen zwischen $- \infty $ und $x$ an und schließt beide Grenzen nicht mit ein. Im Intervall $]-\infty,3[$ sind also beispielsweise die Zahlen $...,-3,-2.7,-2,-1.5,-1,0,1,2.7 $ enthalten, aber nicht die $\mathbf{3}$.

Links abgeschlossenes, rechts unendliches Intervall

Das links abgeschlossene, rechts unendliche Intervall gibt die Zahlen zwischen $x $ und $\infty$ an und schließt die linke Grenze mit ein. Im Intervall $[-2,\infty[$ sind also beispielsweise die Zahlen $-2,-1,1.5,2,3,3.5,4,5,... $ enthalten.

Links offenes, rechts unendliches Intervall

Das links offene, rechts unendliche Intervall gibt die Zahlen zwischen $x $ und $\infty$ an und schließt die linke Grenze nicht mit ein. Im Intervall $]-2,\infty[$ sind also beispielsweise die Zahlen $-1.5,-1,0,1,2,... $ enthalten, aber nicht die $\mathbf{-2}$.

Beidseitig unendliche Intervall

Das beidseitig unendliche Intervall gibt die Zahlen zwischen $- \infty$ und $\infty$ an und schließt beide Grenzen nicht mit ein. Dieses Intervall ist eine Darstellung für den Zahlenstrahl beziehungsweise für die reellen Zahlen.

Zusammenfassung der unendlichen (unbeschränkten) Intervalle

Name	Ungleichung	Schreibweise 1	Schreibweise 2
links unendlich, rechts abgeschlossen	$-\infty < m \leq y$	$]-\infty,y]$	$(-\infty,y]$
links unendlich, rechts offen	$-\infty < m < y $	$]-\infty,y[$	$(-\infty,y)$
links abgeschlossen, rechts unendlich	$x \leq m \leq \infty$	$[x,\infty[$	$[x,\infty)$
links offen, rechts unendlich	$x \leq m < \infty$	$]x,\infty[$	$(x,\infty)$
beidseitig unendlich	$-\infty < m < \infty$	$]-\infty,\infty[$	$(-\infty,\infty)$