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Inverse Matrix

Exkurs (Lineare Algebra)


Information

Auf dieser Seite erklären wir dir, was die inverse Matrix ist und wie du sie bestimmst. Um diesen Artikel zu verstehen, lies dir am besten vorher die Artikel "Matrixmultiplikation" sowie "Gauß-Verfahren" genau durch!


Definition der inversen Matrix A1


Wenn du eine Matrix A mit ihrer inversen Matrix A1 multiplizierst, erhältst du die Einheitsmatrix.

Die Einheitsmatrix ist also jene Matrix, welche die Gleichung AA1=A1A=I erfüllt.

Beispiel:
Die Matrizen A=(2614) und A1=(23121) sind invers zueinander.

Begründung:
AA1 = (2614)(23121)=(22+6(1)22(3)+6112+4(1)21(3)+41)=(1001)
Die Matrix A1 ist somit die inverse Matrix zu A.


Rechenregeln für die inverse Matrix

Für die inverse Matrix gelten die folgenden Rechenregeln:

(A1)1=AWenn du die inverse Matrix der inversen Matrix berechnest, erhältst du wieder die Ausgangsmatrix.
(AB)1=B1A1Ob du zwei Matrizen multiplizierst und dann die inverse Matrix berechnest oder ob du die inverse Matrix von B berechnest, dann die inverse Matrix von A und schließlich die Inversen multiplizierst läuft auf dasselbe heraus.
(Ak)1=(A1)k mit kNWenn du die Potenz einer Matrix invertierst, kannst du auch zuerst die Matrix invertieren und dann die Potenz bilden. Das Ergebnis ist dasselbe.
(cB)1=c1A1Wenn du eine Matrix mit einem Skalar multiplizierst und das Ergebnis anschließend invertierst, kannst du das Skalar als auch die Matrix invertieren und diese anschließend multiplizieren.

(AT)1=(A1)TOb du zuerst die transponierte Matrix berechnest und anschließend invertierst oder ob du zuerst invertierst und dann transponierst ist vollkommen egal.
rang(A)=rang(A1)Der Rang der ursprünglichen Matrix ist gleich dem Rang der inversen Matrix.
det(A1)=(det(A))1Die Determinante der inversen Matrix ist gleich der Inversen der Determinante der ursprünglichen Matrix.



Berechnung der inversen Matrix mit Gauß-Jordan




Spezielle Matrizen, die über die inverse Matrix charakterisiert sind


selbstinverse MatrixA1=AFalls die inverse Matrix gleich der ursprünglichen Matrix ist, dann wird die Matrix selbstinvers genannt.
orthogonale MatrixA1=ATFalls die inverse Matrix gleich der transponierten Matrix ist, dann wird die Matrix orthogonal genannt.
unitäre MatrixA1=AHFalls die inverse Matrix gleich der adjungierten Matrix ist, dann wird die Matrix unitär genannt.





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