Monotonieverhalten

7.Klasse (Österreichischer Schulplan)

Information:
Auf dieser Seite erklären wir dir, wie du das Monotonieverhalten einer Funktion bestimmst. Für dieses Thema ist entscheidend, dass du weißt, wie du die Extremstellen einer Funktion ermitteln kannst. Falls du nicht weißt, wie das geht, kannst du es hier nochmal nachlesen.

Information:

Mithilfe des Monotonieverhaltens kannst du bestimmen, in welchem Bereich eine Funktion streng monoton steigend beziehungsweise streng monoton fallend ist.

Die Definition solltest du schon kennen:
Eine Funktion heißt streng monoton steigend an der Stelle $x$, falls gilt, dass $ f'(x)>0 $ ist.
Eine Funktion heißt streng monoton fallend an der Stelle $x$, falls gilt, dass $ f'(x)< 0 $ ist.

Das Monotonieverhalten zu bestimmen ist ganz einfach. Befolge einfach die folgende Anleitung.

Anleitung:

Bestimme zuerst die Extremstellen der Funktion
Ermittle nun, ob es sich bei den Extremstellen um Hoch- oder Tiefpunkte handelt. (Sattelpunkte streichst du)
Ordne die Extremstellen nach Größe (d.h. vom kleinsten x-Wert zum größten)
Bei jedem Extrempunkt ändert sich das Monotonieverhalten. War also die Funktion bis zur Extremstelle extrem monoton steigend, so ist sie nach der Extremstelle extrem monoton fallend. Und andersrum.
Es fehlt noch das Monotonieverhalten vor der 1.Extremstelle: Das kann aber einfach ermittelt werden. Handelt es sich bei der 1.Extremstelle um ein Maximum, so war die Funktion vorher streng monoton steigend. Handelt es sich um ein Minimum, so war sie vorher streng monoton fallend.

Merkspruch:

Extremstellen bestimmen - Monotonieverhalten vor 1.Extremstelle ermitteln - nach jeder Extremstelle ändert sich das Monotonieverhalten

Beispiel:
Bestimme das Monotonieverhalten der Funktion $f(x)=3x^2$.

Die Lösung:
1) Bestimme die Extremstellen der Funktion
erste Ableitung: $ f'(x)=2 \cdot 3x = 6x $
Gleich Null setzen: $ 6x = 0 \Rightarrow x = 0 $.
Die einzige Extremstelle liegt also bei $x=0$.

2) Ermitteln ob Hoch- oder Tiefpunkt
Bestimme die zweite Ableitung: $f''(x)=6$. Da $ f''(0)=6>0 $ ist, handelt es sich um ein Tiefpunkt.

3) Nach Größe ordnen
Es gibt nur eine Extremstelle - deshalb brauchen wir nichts zu ordnen.

4) Monotonietabelle aufstellen

$x < 0$ oder $ (- \infty, 0) $	$ x= 0 $	$ x > 0 $ oder $ (0 , \infty) $
streng monoton fallend (da der 1. Extrempunkt ein Tiefpunkt ist)	Tiefpunkt	streng monoton steigend (es ändert sich das Monotonieverhalten nach der Extremstelle)

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