Kugel Volumen

4.Klasse (Österreichischer Schulplan)

Information:
Das Volumen einer Kugel berechnest du mit folgender Formel:

$ V = \dfrac{4 \cdot r^3 \cdot \pi}{3} $

Dabei ist $ r $ der Radius der Kugel und $ \pi $ eine irrationale Zahl ($ \pi = 3.1415926 $). Auf dem Taschenrechner gibt es eine eigene Taste für $ \pi $.

Beispiele:
1) Berechne das Volumen einer Kugel mit dem Radius von $6 \ cm$.

Antwort:
Einsetzen in die Formel $V = \dfrac{4 \cdot r^3 \cdot \pi}{3} $ ergibt $ V = \dfrac{4 \cdot 6^3 \cdot \pi}{3} = \dfrac{4 \cdot 216 \cdot \pi}{3} = \dfrac{864 \cdot \pi}{3} = \dfrac{2714.336}{3} = \underline{\underline{904.779 \ cm^3 }}$

2) Berechne das Volumen einer Kugel mit dem Radius von $4.8 \ dm$.

Antwort:
Einsetzen in die Formel $V = \dfrac{4 \cdot r^3 \cdot \pi}{3} $ ergibt $ V = \dfrac{4 \cdot 4.8^3 \cdot \pi}{3} = \dfrac{4 \cdot 110.592 \cdot \pi}{3} = \dfrac{442.368 \cdot \pi}{3} = \dfrac{1389.74}{3} = \underline{\underline{463.247 \ dm^3 }}$

Umkehraufgaben:
Du kannst die Formeln auch umformen. Es gilt also:
$r = \sqrt[3]{ \dfrac{3 \cdot V}{4 \cdot \pi} } \\[6pt]$

$ V = \dfrac{4 \cdot r^3 \cdot \pi}{3} \ \mid \ \cdot 3 \\[6pt] 3 \cdot V = 4 \cdot r^3 \cdot \pi \ \mid \ \div 4 \\[6pt] \dfrac{ 3 \cdot V }{ 4 } = r^3 \cdot \pi \ \mid \ \div \pi \\[6pt] \dfrac{ 3 \cdot V }{ 4 \cdot \pi} = r^3 \ \mid \ \sqrt[3]{ \ } \\[6pt] \underline{\underline{ r = \sqrt[3]{ \dfrac{3 \cdot V}{4 \cdot \pi} } }}$

Beispiele:
1) Das Volumen einer Kugel beträgt $ 27 \ cm^3 $. Berechne den Radius!

Antwort:
Einsetzen in die Formel $r = \sqrt[3]{ \dfrac{3 \cdot V}{4 \cdot \pi} } $ ergibt $r = \sqrt[3]{ \dfrac{3 \cdot 27}{4 \cdot \pi} } = \sqrt[3]{ \dfrac{81}{12.566} } = \sqrt[3]{ 6.446 } = \underline{\underline{1.861 \ cm }} $

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