Komplexe Zahlen dividieren

7.Klasse (Österreichischer Schulplan)

Information:

Auf dieser Seite erklären wir dir, wie du zwei komplexe Zahlen durcheinander dividierst.

Um diesen Artikel bestmöglich zu verstehen, solltest du bereits wissen, was komplexe Zahlen überhaupt sind. Außerdem solltest du wissen, wie das Addieren, das Subtrahieren sowie das Multiplizieren von komplexen Zahlen funktioniert. Falls du das nicht weißt, helfen dir die folgenden Artikel sicherlich weiter.

Komplex Konjugierte:
Für die Division von komplexen Zahlen ist die konjugiert-komplexe Zahl von wesentlicher Bedeutung. Deshalb findest du hier eine kurze Erklärung dazu.

Es sei $ z_1=a+bi $ eine komplexe Zahl. Dann heißt $ z_2=a-bi $ die komplex konjugierte Zahl von $z_1$.

Du siehst: Du bekommst die komplex konjugierte Zahl, indem du das Vorzeichen von dem Imaginärteil vertauscht.

Beispiele:

Die komplex konjugierte Zahl von $(2\color{red}+3i)$ ist $(2\color{red}-3i)$.
Die komplex konjugierte Zahl von $(-5\color{red}-8i)$ ist $(-5\color{red}+8i)$.

Graphisch sieht es so aus: (Darstellung in der Gauß'schen Zahlenebene)

Die komplex-konjugierte Zahl erhältst du also, wenn du die komplexe Zahl an der x-Achse spiegelst.

Zum Abschluss noch eine Sache bezüglich der Notation. Ist $z_1$ eine komplexe Zahl, dann verwendest du für die komplex konjugierte Zahl einen Oberstrich. (also $\overline{z_1}$ ist die komplex konjugierte Zahl zu $ z_1 $)

Nachdem du nun weißt, wie die komplex konjugierte Zahl definiert ist, können wir uns mit dem Dividieren von komplexen Zahlen beschäftigen.

Und das ist gar nicht schwer! Du musst lediglich den Bruch erweitern und dann zwei Multiplikationen durchführen. Trotzdem eine Schritt-für-Schritt Anleitung:

1.Schritt: Multipliziere den Zähler des Bruches als auch den Nenner des Bruches mit der komplex konjugierten Zahl des Nenners.
2.Schritt: Multipliziere nun aus. Im Zähler ergibt sich eine komplexe Zahl und im Nenner eine reelle Zahl. Du bist fertig :)

Zu theoretisch? Mit den folgenden durchgerechneten Beispielen verstehst du es bestimmt noch besser!

Führe die folgende Division aus!

$ \dfrac{2+3i}{3+5i} $

Die Lösung:
Die komplex konjugierte Zahl des Nenners ist $3-5i$. Wir multiplizieren nun Zähler und Nenner mit $3-5i$:

$ \dfrac{ (\color{red}{ 2+ 3 i })}{( \color{blue}{ 3 + 5 i})} = \dfrac{ (\color{red}{ 2+ 3 i })}{( \color{blue}{ 3 + 5 i})} \cdot \dfrac{ (\color{green}{ 3-5 i })}{( \color{orange}{ 3 -5 i})} = \dfrac{\color{red}{2} \cdot \color{green}{3} + \color{red}{2} \cdot \color{green}{(-5i)} + \color{red}{3i} \cdot \color{green}{3} + \color{red}{3i} \cdot \color{green}{(-5i)}}{\color{blue}{3} \cdot \color{orange}{3} + \color{blue}{3} \cdot \color{orange}{(-5i)} + \color{blue}{5i} \cdot \color{orange}{3} + \color{blue}{5i} \cdot \color{orange}{(-5i)}} = \dfrac{( 6 - (-15) ) + ( -10 + 9 ) i}{( 9 - (-25) ) + ( -15 + 15 ) i} = \mathbf{ \dfrac{ 21-1 i}{ 34 }} $

Du siehst also: Du musst gut komplexe Zahlen multiplizieren können. Falls du jetzt gemerkt hast, dass das Thema noch nicht so richtig sitzt, kannst du diese Schwachstelle mithilfe dieses Artikels beheben: --> Komplexe Zahlen multiplizieren

Rechner:
Dividiere zwei komplexe Zahlen online durcheinander

Gib hier zwei komplexe Zahlen ein. Diese werden dann samt Zwischenschritten mithilfe dieses Rechners durcheinander dividiert.

Rechengesetze, die gelten und Rechengesetze, die nicht gelten:

~~Assoziativgesetz:~~
Das Assoziativgesetz gilt nicht!
$ x \div (y \div z) \ne (x \div y) \div z $

Gegenbeispiel: $ (2+3i) \div ((3+4i) \div (1-6i)) \ne ((2+3i) \div (3+4i)) \div (1-6i) $

~~Kommutativgesetz~~
Das Kommutativgesetz gilt nicht!
$a \div b \ne b \div a$

Beispiel: $(4+6i) \div (-1+2i) \ne (-1+2i) \div (4+6i)$

Abgeschlossenheit
Wenn du zwei komplexe Zahlen durcheinander dividierst, kommt stets wieder eine komplexe Zahl heraus.

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