Nullstellen

Information:
Auf dieser Seite erklären wir dir, wie du die Nullstellen einer Funktion bestimmen kannst.

Üblicherweise berechnest du die Nullstellen einer quadratischen Funktion. Falls du nicht mehr weißt, wie die Lösungsformeln für quadratische Funktionen gehen, kannst du dies hier nochmal nachlesen.

Inhaltsverzeichnis:

Definition von einer Nullstelle:

Nullstellen von linearen Funktionen bestimmen

Eine allgemeine lineare Funktion hat die Gestalt $ f(x)=kx+d $.


Durchgerechnetes Beispiel 1:
Bestimme die Nullstellen der Funktion $ f(x)=4x+2 $.

1.Schritt: Setze die Funktion $f(x)$ gleich 0.
$4x+2$ $=0$

2.Schritt: Löse die Gleichung nach x auf.
$4x+2=0 \ \mid -2 \\[8pt] 4x=-2 \ \mid \div 4 \\[8pt] \underline{\underline{ x=-0.5 }}$

Die Nullstelle der linearen Funktion liegt also bei $x=-0.5$.



Durchgerechnetes Beispiel 2:
Bestimme die Nullstellen der Funktion $ f(x)=-3x-6 $.

1.Schritt: Setze die Funktion $f(x)$ gleich 0.
$-3x-6$ $=0$

2.Schritt: Löse die Gleichung nach x auf.
$-3x-6=0 \ \mid +6 \\[8pt] -3x=6 \ \mid \div \ (-3) \\[8pt] \underline{\underline{ x=-2 }}$

Die Nullstelle der linearen Funktion liegt also bei $x=-2$.

Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen

--> Lösungsformeln von quadratischen Gleichungen
--> Quadratische Gleichungen

Eine allgemeine quadratische Funktion hat die Gestalt $ f(x)=ax^2+bx+c $.


Durchgerechnetes Beispiel:
Bestimme die Nullstellen der Funktion $ f(x)=5x^2+6x-2 $.

1.Schritt: Setze die Funktion $f(x)$ gleich 0.
$5x^2+6x-2$ $=0$

2.Schritt: Löse die Gleichung nach x auf.
$5x^2+6x-2=0 \\[8pt] $
Setze nun in die große Lösungsformel ein:
--> $a=5, b=6$ und $c=-2$

$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[12pt] x_{1,2}=\dfrac{-6\pm \sqrt{6^2-4 \cdot 5 \cdot (-2)}}{2 \cdot 5} \\[12pt] x_{1,2} = \dfrac{ -6 \pm \sqrt{ 76 } } { 2 \cdot 5 } \\[12pt] x_{1,2} = \dfrac{ -6 \pm 8.71779789 } { 10 } \\[20pt] x_{1} = \dfrac{ -6 + 8.71779789 } { 10 } = \color{red}{0.27177979} \\[12pt] x_{2} = \dfrac{ -6 - 8.71779789 } { 10 } = \color{red}{-1.47177979} $


Die Nullstelle der quadratischen Funktion liegen also bei $x=0.27$ und bei $x=-1.47$.

Nullstellen von kubischen Funktionen bestimmen

--> Polynomdivision (Artikel in Arbeit)
--> Horner-Schema (Artikel in Arbeit)

Eine allgemeine kubische Funktion hat die Gestalt $ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $.

Nullstellen von anderen Funktionen bestimmen

Bei allgemeinen Funktionen ist es oftmals nicht einfach die Nullstellen zu ermitteln. Nimm deshalb am besten einen graphischen Taschenrechner mit CAS beziehungsweise GeoGebra zur Hilfe.