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Parameterform in Normalenform

5.Klasse (Österreichischer Schulplan)


Information
Auf dieser Seite erklären wir dir, wie du ganz einfach die Parameterform in die Normalenform umwandeln kannst.

  • Bei der Parameterform hast du einen Punkt $P=\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \end{pmatrix}$ als auch einen Richtungsvektor $r=\begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ \end{pmatrix}$ gegeben.

  • Um jetzt die Normalenform zu bilden, bildest du zuerst den orthogonalen Vektor zu dem Richtungsvektor. Du vertauscht also die x-Koordinate mit der y-Koordinate des Richtungsvektors und änderst anschließend das Vorzeichen der x-Koordinate. Es ergibt sich somit $n=\begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \\ \end{pmatrix}$

  • Nun schreibst du die Gerade als Normalenform an: $\begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \\ \end{pmatrix}$ $ \cdot X = $ $\begin{pmatrix} -r_2 \\ r_1 \\ \end{pmatrix}$$ \cdot $ $ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \end{pmatrix} $. Die Gerade ist somit umgewandelt.


Durchgerechnete Beispiele:
Wandle die Gerade $ \text{g:} \quad \vec{X} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ \end{pmatrix} $ um in die Normalenform.

Die Lösung:

  • Bilde den orthogonalen Vektor zum Richtungsvektor. Dieser ist $\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ \end{pmatrix}$.

  • Setze in die Formel der Normalenform ein. Es ergibt sich: $\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ \end{pmatrix}$ $ \cdot \ X = $ $\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ \end{pmatrix}$$ \cdot $ $ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ \end{pmatrix} $.

  • Rechnest du noch das Skalarprodukt aus, so kommst du zu $\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ \end{pmatrix}$ $ \cdot \ X = -8 $




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