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Umkreis

2.Klasse (Österreichischer Schulplan)

Der Umkreismittelpunkt ist der Mittelpunkt des Umkreises .

Definition Umkreis:
Ein Umkreis ist ein Kreis, der durch alle Eckpunkte eines Dreiecks verläuft.

Konstruktion Umkreis:
Du zeichnest zuerst die Mittelpunkte der Seiten a, b und c ein, danach konstruierst du die Normalen auf die Mittelpunkte, der Punkt in dem sich die Normalen kreuzen ist der Umkreismittelpunkt. Um jetzt den Umkreis zu konstruieren, zeichnest du einen Kreis mit dem Zirkel, dessen Mittelpunkt der Umkreismittelpunkt ist und durch A, B und C verläuft.

Position des Umkreismittelpunktes:
  1. Bei einem spitzwinkligem Dreieck liegt der Umkreismittelpunkt im Inneren des Dreiecks.
  2. Bei einem rechtwinkligem Dreieck ist der Umkreismittelpunkt gleich dem Mittelpunkt der Hypothenuse.
  3. Bei einem stumpfwinkligem Dreieck befindet sich der Umkreismittelpunkt außerhalb des Dreiecks.

- Radius des Umkreises (Stoff der 5.Klasse, da Verwendung von Trigonometrischen Funktionen)
$ R = \dfrac{a}{2 \cdot sin(\alpha)} = \dfrac{b}{2 \cdot sin(\beta)} = \dfrac{c}{2 \cdot sin(\gamma)} $

- Südpolsatz (Stoff der Mathematikolympiade)
Er besagt, dass sich die Mittelsenkrechte einer Seite eines Dreiecks mit der Winkelhalbierenden des gegenüberliegenden Winkels stets auf dem Umkreis des Dreiecks schneidet.

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