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Oktaeder Formeln und Eigenschaften

Was ist ein Oktaeder?

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Ein Oktaeder ist jener Körper, der entsteht, wenn man zwei gleichseitige quadratische Pyramiden an den Grundflächen zusammenklebt.

Welche Formeln gibt es zu einem Oktaeder?

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Standardformeln:
Oberfläche: $O=2a^2 \cdot \sqrt{3}$
Volumen vom Oktaeder: $V=\dfrac{a^3 \cdot \sqrt{2}}{3}$
Höhe: $h=\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot a$
Radius der Umkugel: $ r_U=\dfrac{a}{2} \cdot \sqrt{2} \\[2pt]$
Radius der Inkugel: $ r_I=\dfrac{a}{6} \cdot \sqrt{6} $

Umgeformte Formeln:
$a=\sqrt{\dfrac{O}{2 \cdot \sqrt{3}}}$
$a=\sqrt[3]{V \cdot 3 \cdot \sqrt{2}}$

Erklärungen zu den verwendeten Variablen weiter unten.

Bild:

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Weitere Informationen: [Bearbeiten] [Versionsgeschichte]

Kanten / Eckpunkte / Flächen:

Kanten: 12
Eckpunkte: 6
Flächen: 8

Infos zu den Variablen:

$a$ ist die Seitenlänge der Grundfläche (nicht sichtbar auf dem Bild) des Oktaeders
$a$ auch die Seitenlänge der Seitenkanten
Alle Flächen sind gleichseitige Dreiecke

Demnach kann man sich auch durch die Seitenlänge a die Höhe der Pyramide ausrechnen.
Externe Links:

Rotierendes Modell eines Oktaeders: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/14/Octahedron.gif (Bild von Wikipedia)
Octahedral numbers: $a(n) = n \cdot (2 \cdot n^2 + 1)/3$

Netz: Auf dem folgenden Bild wird das Netz eines Oktaeders dargestellt.

Interessantes:

Er ist ein Platonischer Körper. Insgesamt gibt es fünf Platonische Körper (Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder). Wegen der hohen Symmetrie, gehört er auch zur Gruppe der regulären Polyeder.

Euler'sche Polyederformel:
Bei allen platonischen Körpern gibt es einen Zusammenhang zwischen den Eckpunkten, Flächen und Kanten: $ \text{Eckpunkte}+\text{Flächen} = \text{Kanten}+2 $. Beim Tetraeder bestätigt sich diese Formel, da $6+8=12+2$ ist.

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