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Sehnenviereck Formeln und Eigenschaften

Was ist ein Sehnenviereck?

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Ein allgemeines Viereck, welches einen Umkreis besitzt, wird Sehnenviereck genannt. Zusätzlich gilt, dass sich gegenüberliegende Winkel auf $180 ^{\circ} $ ergänzen (also $\alpha+\gamma=180$ und $\beta+\delta=180)$.

Welche Formeln gibt es zu einem Sehnenviereck?

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Fläche (Heron'sche Flächenformel): $ A=\sqrt{s \cdot (s-a) \cdot (s-b) \cdot (s-c) \cdot (s-d)} $
mit $ s = \dfrac{a+b+c+d}{2} \\[4pt]$
Umfang: $ U=a+b+c+d $

Erklärungen zu den verwendeten Variablen weiter unten.

Bild:

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Weitere Informationen: [Bearbeiten] [Versionsgeschichte]

Kanten / Eckpunkte:

Kanten: 4
Eckpunkte: 4

Infos zu den Variablen:

$a,b,c$ und $d$ sind die Seitenlängen vom Sehnenviereck
$\alpha, \beta, \gamma$ und $ \delta $ sind die Winkel bei den Eckpunkten $A, B, C$ bzw. $D$ vom Sehnenviereck

Interessantes:

Für jedes Sehnenvireck gilt:

Der Satz von Ptolemäus: $ a \cdot c+b \cdot d=e \cdot f $.
Der Sehnensatz: Die Produkte zweier gegenüberliegender Diagonalabschnitte sind gleich groß

Umkehrung des Peripheriewinkelsatzes
Über einer Sehne $AB$ des Kreises $k$ werden zwei Punkte $C$ und $D$ gewählt. Gilt $ \angle ACB= \angle ADB$, dann handelt es sich um ein Sehnenviereck.

Umkreis/Inkreis

Umkreis: Ja
Inkreis: Nein

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