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Tetraeder Formeln und Eigenschaften

Was ist ein Tetraeder?

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Bei einem Tetraeder sind alle Kanten gleich lang, alle Begrenzungsflächen (das sind gleichseitige Dreiecke) kongruent sowie es stoßen in jedem Eckpunkt 3 Kanten bzw. Flächen aufeinander.

Welche Formeln gibt es zu einem Tetraeder?

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Standardformeln:

Oberfläche: $O=a^2 \cdot \sqrt{3} \\[6pt] $
Volumen: $ V=\dfrac{a^3 \cdot \sqrt{2}}{12} \\[6pt] $
Höhe: $h=\dfrac{\sqrt6 \cdot a}{3}$

Erweiterte Formeln:
Kantenlänge: $ a=\sqrt{\dfrac{O}{\sqrt{3}}} $
Umkugelradius: $ r_U=\dfrac{a}{4} \cdot \sqrt{6} \\ $
Inkugelradius: $ r_I=\dfrac{a}{12} \cdot \sqrt{6} $

Erklärungen zu den verwendeten Variablen weiter unten.

Bild:

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Weitere Informationen: [Bearbeiten] [Versionsgeschichte]

Kanten / Eckpunkte / Flächen:

Kanten: 6
Eckpunkte: 4
Flächen: 4

Infos zu den Variablen:

$a$ ist die Seitenlänge (=Seitenkante) der Grundfläche des Tetraeders
Gleichzeitig ist $a$ auch die Seitenlänge der Deckflächen des Tetraeders

Externe Links:

Detaillierte Herleitung der Höhe eines Tetraeders: https://math.stackexchange.com/questions/11085/height-of-a-tetrahedron (auf Englisch)
Rotierendes Modell eines Tetraeders: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/70/Tetrahedron.gif (Bild von Wikipedia)
Leben und Werk von Platon (externer Link)

Interessantes:

Ein Tetraeder ist ein Platonischer Körper (nach dem griechischen Philosophen Platon benannt). Insgesamt gibt es fünf Platonische Körper (Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder). Außerdem ist ein Tetraeder symmetrisch bezüglich der Mittelebenebenen.

Euler'sche Polyederformel:
Bei allen platonischen Körpern gibt es einen Zusammenhang zwischen den Eckpunkten, Flächen und Kanten: $ \text{Eckpunkte}+\text{Flächen} = \text{Kanten}+2 $. Beim Tetraeder bestätigt sich diese Formel, da $4+4=6+2$ ist.

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