Dreiquadratesatz

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Der Inhalt auf dieser Seite entstammt meiner Bachelorarbeit 'Fermat’scher Polygonalzahlensatz', welche ich im Jahr 2016 an der Universität Wien verfasst habe.

Information:
Der Dreiquadratesatz ist ein Spezialfall des Fermat'schen Polygonalzahlensatzes, der besagt, dass jede Zahl $n\neq \ 4^l(8m+7)$ sich als Summe von drei Quadratzahlen schreiben lässt.

quadratischer Rest und quadratischer Nichtrest:
Es sei $ p \neq 2 $ eine Primzahl und es sei $ a \in \mathbb{Z} $ mit $ p \nmid a $. Dann heißt $a$ quadratischer Rest modulo $p$, falls die Kongruenz $x^2 \equiv a (p)$ eine Lösung besitzt. Falls diese Kongruent nicht lösbar ist, so nennen wir $a$ einen quadratischer Nichtrest modulo $p$.

Legendre-Symbol:
Es sei $ p $ eine Primzahl, $ p \neq 2$ und $ a \in \mathbb{Z} $ mit $ p \nmid a $. \\ Dann definieren wir das Legendre-Symbol wie folgt: $$ \left( \frac{a}{p} \right) = \begin{cases} 1 & \text{wenn a quadratischer Rest modulo p} \\ -1 & \text{wenn a quadratischer Nichtrest modulo p} \label{erganz0} \\ \end{cases} $$

Erster Ergänzungssatz
Es sei $ p \neq 2 $ und $ p $ Primzahl. Dann: $$ \left( \frac{-1}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}} \label{erganz1} $$

Zweiter Ergänzungssatz
Es sei $ p \neq 2 $ und $ p $ Primzahl. Dann: $$ \left( \frac{2}{p} \right) = (-1)^{\frac{p^2-1}{8}} \label{erganz2} $$

Quadratisches Reziprozitätsgesetz
Es seien $ p $ und $ q $ zwei verschiedene und ungerade Primzahlen. Dann gilt: $$ \left( \frac{p}{q} \right) \left( \frac{q}{p} \right) = (-1)^{\frac{p-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2} } \label{erganz3} $$

$x^2+y^2=n$ ist genau dann lösbar, wenn jeder Primfaktor $\equiv 3 \ (4)$ in der Primzerlegung von $n$ einen geraden Exponenten besitzt.

Es sei $n \in \mathbb{N} $. Dann bezeichnet $r_k(n) $ die Anzahl aller geordneten, möglichen k-Tupel $ (j_1,...,j_k) \in \mathbb{Z}^k $, sodass $n=\sum_{i=1}^{k} j_i^2$ ist.

Dreieckszahlensatz
Es seien $ n,m $ und $l \in \mathbb{N}$. Wenn $ n \neq 4^l \cdot (8m+7) $ ist, dann kann $n$ als Summe von drei Quadratzahlen dargestellt werden.

Dreiquadratesatz
Es seien $ n,m $ und $l \in \mathbb{N}$. Wenn $ n \equiv 3 \ (\bmod \ 8) $ ist, dann kann n als Summe von drei Quadratzahlen dargestellt werden.

Beweis:
Wir stellen $ n $ in der Form $ b^2 \cdot n' $ dar, wobei $ n' $ quadratfrei ist. Falls sich $n'$ als Summe von drei Quadraten in der Form $ n'=x_1^2+x_2^2+x_3^2 $ schreiben lässt, dann gilt $ n =(bx_1)^2+(bx_2)^2+(bx_3)^2 $. Daher können wir o. B. d. A. annehmen, dass $n$ quadratfrei ist. \\ Die Primfaktorenzerlegung von $n$ lautet daher: $ n = \prod_{i=1}^{r} p_i $ mit $ p_i>2 $ und $ p_j \neq p_k $ für $ j \neq k $. Es existiert ein nach dem Modul $ 4p_1p_2...p_r=4n $ eindeutig bestimmtes $x$, welches die folgenden Vorraussetzungen erfüllt: $$ x \equiv 1(4) \label{a16} $$ $$x \equiv -2(p_i) \text{ für } i=1,2,...,r \label{a26} $$ Somit gilt laut den Eigenschaften des Moduls, dass $ (x,4)=1 $ und $ (x,p_i)=1 $ für $i=1,2,...,r$ und folglich auch $ (x,4n) = (x,4p_1p_2...p_r) =1 $. Nach dem Dirichlet'schen Primzahlsatz existiert eine Primzahl $ q $, die Lösung des Systems $\eqref{a16}$ und $\text{by \eqref{a26}}$ ist.\\ Wegen $ q-1 \equiv 0(4) $ ist $\frac{q-1}{2}$ gerade und damit gilt $ (-1)^{\frac{q-1}{2}} = 1$. Aus dem Euler'schen Kriterium und dem quadratischen Reziprozitätsgesetzes folgt damit, dass $$ \left( \frac{p_i}{q} \right) \cdot \left( \frac{q}{p_i} \right) = (-1)^{\frac{p_i-1}{2} \cdot \frac{q-1}{2}} = 1, $$ wobei die letzte Gleichheit wieder wegen $ q-1 \equiv 0(4)$ und $ p_i$ ungerade gilt. Wegen der vorigen Gleichung und \eqref{a26} folgt damit, dass $$ \left( \frac{p_i}{q}\right)= \left( \frac{q}{p_i}\right)= \left( \frac{-2}{p_i}\right) \text{ für } i=1,2,...,r $$ Weiters gilt unter Verwendung, dass $n \equiv 3(8) $ $$ \left( \frac{-n}{q}\right)=\left( \frac{-1}{q}\right) \cdot \left( \frac{n}{q}\right)= \left( \frac{n}{q}\right)=\prod_{i=1}^{r} \left( \frac{p_i}{q}\right)=\prod_{i=1}^{r} \left( \frac{-2}{p_i}\right) = (-1)^{\sum_{p_i \equiv 5 (8) } 1 + \sum_{p_i \equiv 7 (8) } 1} = 1 $$ Laut der Definition des Legendre-Symbols Definition \ref{erganz0} existiert somit ein $a$, sodass $$ a^2=-n (q). \label{rhegj} $$ Weil $q$ \eqref{a16} löst, ist $q$ ungerade. Wir können daher o. B. d. A. annehmen, dass $a$ ungerade ist. Wäre $a$ nicht ungerade, so würden wir $a+q$ anstelle von $a$ verwenden, da $a+q$ ebenfalls \eqref{rhegj} löst. Durch simples Umschreiben der Kongruenz \eqref{rhegj} können wir folgern, dass $a^2+n=cq$ ist. Weil $a$ ungerade, folgt dass $ a^2 \equiv 1(4) $, $n \equiv 3(4)$, und aus \eqref{a16} folgt, dass $ q \equiv 1(4) $ ist. Somit gilt, dass $ c \equiv 0 (4) $, und damit kann c als $ c=4h $ geschrieben werden. \\ Somit gilt: $$ a^2+n=4hq. \label{erihn} $$ Die Kongruenz $$ y^2 \equiv -2q \ (2q) $$ ist trivialerweise lösbar, da zum Beispiel $2q$ eine Lösung dieser Kongruenz ist. Die Kongruenz $$ y^2 \equiv -2q \ (p_i) $$ ist lösbar, da $$ \left( \frac{-2q}{p_i} \right) \overset{\eqref{erganz3}}{\underset{\text{}}{=}} \left( \frac{-2}{p_i} \right) \left( \frac{q}{p_i} \right) \overset{\text{}}{\underset{\text{}}{=}} \left( \frac{-2}{p_i} \right)^2\overset{\text{\eqref{a26}}}{\underset{\text{}}{=}} 1 \ \text{für } i=1,2,...,r \label{hurra} $$ Da $q$ \eqref{a26} löst, folgt, dass $q$ ungleich $ p_1,p_2,...,p_r $ ist und somit sogar, dass die Moduln $2q,p_1,p_2,....,p_r$ paarweise teilerfremd sind. Daher gibt es auch eine Lösung für $$ y^2 \equiv -2q \ (2 q p_1 p_2 \cdots p_r=2 \cdot q \cdot n). \label{unefw} $$ Somit ist $y^2 \equiv 0(2q)$ und damit schreiben wir $ y=2qf $. Durch Einsetzen in \eqref{unefw} erhalten wir $4q^2f^2 \equiv -2q (2qn)$. \\ \\ Aufgrund der Eigenschaften der Kongruenz \cite[S.16]{baxa} folgt, dass $$ 2qf^2\equiv-1 \ (n) \label{nofnro} $$ Wir definieren nun die Matrix $$ M := \begin{pmatrix} 2qf & af & n \\[10pt] \sqrt{2q} & \dfrac{a}{\sqrt{2q}} & 0 \\[10pt] 0 & \sqrt{\dfrac{n}{2q}} & 0 \end{pmatrix} $$ Die Determinante der Matrix $M$ ist $ n \cdot \sqrt{2q} \cdot \sqrt{\dfrac{n}{2q}} = n^{3/2} $. Die lineare Abbildung $ M^{-1}: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3 $ führt die offene Kugel $$ \mathscr{K} = \{(\xi, \zeta, \eta)^T \mid \xi^2+\zeta^2+\eta^2 < 2n \} $$ in die Menge $ \mathscr{K'}=M^{-1}(\mathscr{K}) $ über. Es gilt, dass $\mathscr{K'}$ messbar, zentralsymmetrisch und konvex ist, weil $\mathscr{K}$ diese Eigenschaften besitzt und sie sich durch die lineare Abbildung vererben. \\ \\ Aus dem Transformationssatz folgt, dass $$ i(\mathscr{K}')=i(\mathscr{K}) \cdot n^{-3/2}=\dfrac{4}{3} \pi \cdot r^{3} n^{-3/2} =\dfrac{4}{3} \pi \cdot (2n)^{3/2} n^{-3/2} = \dfrac{4}{3} \pi 2^{3/2} > 2^3 $$ Laut dem Gitterpunktsatz von Minkowski, besitzt $\mathscr{K'}$ einen vom Ursprung verschiedenen Gitterpunkt mit ganzzahligen Koordinaten $(x_0,y_0,z_0)$. Sei $(\xi_0, \zeta_0, \eta_0) \in \mathscr{K}$ der eindeutige Punkt, für den $M^{-1} (\xi_0, \zeta_0, \eta_0) = (x_0, y_0, z_0)$ gilt. Somit gilt insbesondere: $$ 0<\xi_0^2+\zeta_0^2+\eta_0^2 \label{wdnoj} < 2n $$ Damit gilt: $$ \begin{pmatrix} \xi_0 \\ \zeta_0 \\ \eta_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2qf & af & n \\[10pt] \sqrt{2q} & \dfrac{a}{\sqrt{2q}} & 0 \\[10pt] 0 & \sqrt{\dfrac{n}{2q}} & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2qfx_0+ afy_0 + nz_0 \\[10pt] \sqrt{2q}x_0 + \dfrac{a}{\sqrt{2q}}y_0 \\[10pt] \sqrt{\dfrac{n}{2q}}y_0 \end{pmatrix} \label{matrix} $$ Damit ist $$ \begin{split} \xi_0^2+\zeta_0^2+\eta_0^2=(2qfx_0+ afy_0 + nz_0)^2+\left(\sqrt{2q}x_0 + \dfrac{a}{\sqrt{2q}}y_0\right)^2+\left(\sqrt{\dfrac{n}{2q}}y_0\right)^2 = (2qfx_0+ afy_0 + nz_0)^2+2x_0^2q+2ax_0y_0+\dfrac{a^2+n}{2q}y_0^2 \label{haus} \end{split} $$ Wegen \eqref{erihn} ist $\dfrac{a^2+n}{2q}$ ganz und damit ist auch klarerweise $\xi_0^2+\zeta_0^2+\eta_0^2$ ganz. Wir betrachten nun $\xi_0^2+\zeta_0^2+\eta_0^2$ mod $n$: Damit ist: $$ \xi_0^2+\zeta_0^2+\eta_0^2 \equiv f^2(2qx_0+ ay_0)^2+2qx_0^2+2ax_0y_0+\dfrac{a^2+n}{2q}y_0^2 \nonumber \\ \equiv f^2 \cdot (4q^2x_0^2+4aqx_0y_0+a^2y_0^2)+2qx_0^2+2ax_0y_0+\dfrac{a^2+n}{2q}y_0^2 \nonumber \\ \equiv 2q(2qf^2+1)x_0^2 + 2a(2qf^2+1)x_0y_0+\dfrac{a^2 \cdot (2qf^2+1)+n}{2q}y_0^2 \ (n) \label{ererr} $$ Die Terme $2q(2qf^2+1)x_0^2$ und $2a(2qf^2+1)x_0y_0$ sind klarerweise wegen \eqref{nofnro} kongruent $0$ modulo $n$. \\ Beim letzten Term ist der Ausdruck $a^2 (2qf^2+1) + n \equiv 0 \ (n)$. Da $\text{ggT}(2q,n)=1$ folgt $2q \mid \frac{a^2(2qf^2+1)+n}{n}$ und $\frac{a^2(2qf^2+1)+n}{2q}y_0^2 \equiv 0 \ (n)$.\\ Somit ist \eqref{ererr} kongruent 0 modulo $n$. Unter Verwendung von \eqref{wdnoj} erhalten wir insgesamt, dass $$ \xi_0^2+\zeta_0^2+\eta_0^2=n \label{baum} $$ Es sei $$ w:=qx_0^2+ax_0y_0+hy_0^2. \label{defw} $$ Unter Verwendung von \eqref{erihn} lässt sich \eqref{haus} als $$ n = \xi_0^2 + 2w \label{ndef} $$ schreiben. Zur Erinnerung: Wir müssen zeigen, dass $n$ als Summe von drei Quadratzahlen geschrieben werden kann. Aufgrund der Zerlegung und weil $ \xi_0 $ ganz ist (wegen der Zerlegung von \eqref{matrix}) genügt es nun, zu zeigen, dass $2w$ als Summe von zwei Quadratzahlen geschrieben werden kann. Somit: $r_2(2w) >0$ Wegen des Korollars \eqref{gaussi} genügt es zu zeigen, dass für jeden Primfaktor $p>2$, der in der Primfaktorenzerlegung von $w$ mit ungeradem Exponenten auftritt, $ p \equiv 1 \ (4) $ ist. \\ \\ Wir nehmen nun an, dass $ p^{2l+1} \mid w $ (und $l$ maximal mit dieser Eigenschaft) und $p>2$. Es bleibt nun zu zeigen, dass $ p $ nur $ \equiv 1 \ \bmod \ 4$ ist, und nicht $p \equiv 3 \ \bmod \ 4 $. Wegen \eqref{a16} ist $ q \equiv 1 \ \bmod \ 4 $ und damit können wir o. B. d. A. annehmen, dass $ p \neq q $ ist. \\ Wir unterscheiden nun zwei Fälle: - $ p \nmid n $
Wegen $\eqref{ndef}$ und $p \mid w$, gilt $n \equiv \xi_0^2 (p)$. Dies ist die Definition eines quadratischen Restes, weshalb das Legendre Symbol $1$ ergibt. Also gilt: $$ \left( \frac{n}{p} \right) =1 \label{eins} $$ Nach \eqref{erihn} und \eqref{defw} folgt mittels Einsetzen, dass $$ 4qw=(2qx_0+ay_0)^2+ny_0^2 \label{asdf} $$ Wir definieren zwei Konstanten $g_1:=2qx_0+ay_0$, $g_2:=y_0$. Wegen $ p^{2l+1} \mid w $, existiert eine Konstante $d$, sodass $$ d \cdot p^{2l+1}=(g_1)^2+n(g_2)^2 \label{sdlnk} $$ Weil $ p \nmid 4q$, gilt insgesamt auch $ p \nmid d $. Weil auf der linken Seite der Gleichung der Primfaktor $p$ mit ungeradem Exponent vorkommt, dürfen $ g_1 $ und $g_2$ nicht verschwinden. Damit definieren wir $m_1 \in \mathbb{N}_0$ und $m_2 \in \mathbb{N}_0$ als größtmögliche Zahlen, sodass $ p^{m_1} \mid g_1 $ und $p^{m_2} \mid g_2$. In dem man die Gleichung \eqref{sdlnk} jeweils durch die kleinste in den drei Termen vorkommende Potenz von $p$ dividiert, erkennt man, dass $ m_1=m_2 \leq l$. Nach Abspaltung von $p^{2m_1}$ erhalten wir $$ dp^{2(l-m_1)+1}={g_1'}^2+n{g'_2}^2 $$ mit $p \nmid {g_1'}$ und $p \nmid {g_2'} $. Somit folgt unter Betrachtung der obigen Gleichung $\bmod \ p$, dass $$ {g_1'}^2 \equiv -n{g'_2}^2 (\bmod \ p) $$ Aufgrund der Existenz des inversen Elements folgt weiter, dass $$ \left( \frac{-n}{p} \right) =1 $$ und unter Berücksichtigung von \eqref{eins} erhalten wir insgesamt $$ \left( \frac{-1}{p} \right) = \left( \frac{-1}{p} \right) \cdot \left( \frac{n}{p} \right) = \left( \frac{-n}{p} \right) = 1 $$ Aus dem ersten Ergänzungssatz \ref{erganz1} folgt weiter, dass $p \equiv 1 (\bmod \ 4)$ ist. Somit ist dieser Fall abgeschlossen. - $p \mid n$
Unter Verwendung von \eqref{ndef} und Berücksichtigung von $p \mid w$ ergibt sich, dass $ p \mid \xi_0 $. Auf die gleiche Art und Weise betrachten wir die Gleichung \eqref{asdf}. Weil $p \mid 4qw$ und $p \mid ny_0^2$, folgt dass, $p \mid (2qx_0+ay_0)$. Weil $p^2 \mid (2qx_0+ay_0)^2$, folgt bei Division der Gleichung \eqref{asdf} durch $p$ und Betrachtung von $\bmod \ p$, dass $$ 4q \frac{w}{p} \equiv \frac{n}{p}y_0^2 \ (\bmod \ p) \label{gleich1} $$ Weil $p \mid \xi_0$, folgt bei Division der Gleichung \eqref{ndef} durch $p$ und Betrachtung von $\bmod \ p$, dass $$ \frac{n}{p} \equiv \frac{2w}{p} \ (\bmod \ p) \label{gleich2} $$ Unter Verwendung von \eqref{gleich2} und \eqref{gleich1} erhalten wir weiters, dass $$ 2q \frac{n}{p} \stackrel{\eqref{gleich2}}{\equiv} 4q \frac{w}{p} \stackrel{\eqref{gleich1}}{\equiv} \frac{n}{p}y_0^2 \ (\bmod \ p) \label{jdw} $$ Weil $n$ quadratfrei ist, gilt, dass $p \nmid \frac{n}{p}$ und damit darf $\frac{n}{p}$ aus \eqref{jdw} herausgekürzt werden. Somit erhalten wir insgesamt: $$ y_0^2 \equiv 2q \ (\bmod \ p) \quad \Longrightarrow \quad \left( \frac{2q}{p} \right)=1 $$ Aus \eqref{hurra} folgt, dass $$ \left( \frac{-2q}{p} \right)=1. $$ Unter Berücksichtigung von den oberen beiden Gleichungen bekommen wir: $$ \left( \frac{-1}{p} \right) = \left( \frac{-1}{p} \right) \left( \frac{2q}{p} \right) = \left( \frac{-2q}{p} \right) =1. $$ Aus dem ersten Ergänzungssatz \ref{erganz1} folgt wiederum, dass $p \equiv 1 \ (\bmod \ 4)$ ist. Somit ist dieser Fall auch abgeschlossen. Somit ist der Satz bewiesen.

Dreieckszahlensatz:
Der Dreieckszahlensatz ist ein Spezialfall des Fermat'schen Polygonalzahlensatzes:
Es sei \( n \in \mathbb{N} \). Dann kann $n$ als Summe von $3$ Dreieckszahlen geschrieben werden.

Beweis:
Aus dem Dreiquadratesatz folgt, dass jede Zahl der Gestalt $ x \equiv 3 \ (mod \ 8) $ sich als Summe von drei Quadratzahlen schreiben lässt die ungerade sein müssen. Somit: $$ 8x+3 = (2a+1)^2+(2b+1)^2+(2c+1)^2 \\ =4a^2+1+4a+4b^2+4b+1+4c^2+4c+1 $$ Wir erhalten: $$ x = \frac{4a^2+4a+4b^2+4b+4c^2+4c}{8} \\ = \frac{4a \cdot (a+1)}{8} + \frac{4b \cdot (b+1)}{8} + \frac{4c \cdot (c+1)}{8} \\ = \frac{a \cdot (a+1)}{2} + \frac{b \cdot (b+1)}{2} + \frac{c \cdot (c+1)}{2} \\ = p_3(a)+p_3(b)+p_3(c) $$

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Der Inhalt auf dieser Seite entstammt meiner Bachelorarbeit 'Fermat’scher Polygonalzahlensatz', welche ich im Jahr 2016 an der Universität Wien verfasst habe.